证券指数中的混沌现象研究.pdf

第七届全国一般力学学术会议论文集 2002 张家界 证券指数中的混沌现象研究 王洪礼 沈菲 乔宇 竺致文 (天津大学力学系 天津3000721 摘要: 以Takens等人提出的相空间重构理论和嵌入定理，分别采用Wolf算法和G-P算法计 算了证券指数日收益率序列的最大Lyapunov指数、吸引子的分维数及测度嫡 (Kolmogorov 嫡)，通过对这些定量指标的计算对证券指数进行混沌特性的分析研究，并通过混饨时间序列 的局域预测方法对其进行了预测计算。 关键词:Lvaounov指数 分形维数 Kolmogorov搞 相空间重构 馄饨时间序列 引言 混沌理论的产生，为证券市场复杂行为的研究开辟了全新的思路。应用混沌理论中的重 构相空间技术，可以在相空间中揭示出传统方法无法揭示的复杂系统动力特征，证券市场运 行的系统是一个复杂的非线性系统，如果我们能证实其无序、不规则和复杂的价格波动现象 确实具有混沌特性，那么利用混沌理论来研究和改善市场短期预测、得到较佳的结果是可行 且有实用价值的。 1证券指数中的混沌现象 1.1混沌介绍 1963年美国气象学家Lorenz在分析天气预报模型时得出气象不可预测的结论，从此， 人们认识到即使确定性系统受到确定性激励，响应也可能是不确定的。目前对 “混沌”尚没 有一个统一的定义，但对混沌现象的特征，人们己有一些共识。产生混沌现象的系统一方面 对初始条件非常敏感;另一方面又最终逃逸不出奇异吸引子的约束。另外，混沌运动具有通 常确定性运动所没有的统计特征，如吸引子分维数、正的Liapunov特征指数、正测度嫡等。 1.2 相空间重构 混沌时间序列研究的基础是状态空间的重构理论，即把具有混沌特性的时间序列重建为 一种低阶非线性动力学系统。通过相空间重构，可以找出隐藏在混沌吸引子中的演化规律， 使现有的数据纳入某种可描述的框架之下。目前较为常用的是延迟矢量法，该方法首先由 Packard等人提出，并由Takens为之奠定了可靠的数学基础。它的基本思想是:系统中任一 分量的演化都是由与之相互作用着的其他分量所决定的，因而这些相关分量的信息就隐含在 任一分量的发展过程中。 不失一般性，令x(t),t二0,1,2,,N表示所研究的时间序列，可得到m维延迟矢量 X(t)=(x(1),x(t一T)，一、x(1一(m一1)T) (1) 式中，m称为嵌入维数;r称为时间延迟量。 Takens己经证明，当嵌入维数充分大时，重构算法是一个嵌入映射，重构的相空间可以 将动力系统的许多特性保存下来，即重构后的动力系统在极限集的稳定性、最大Lyapunov 指数和分形维数等性质保持不变。 1.3最大Lyapunov指数的Wolf算法 Lyapunov指数是系统在相空间中不同方向上轨道附近收缩和膨胀的一个平均量。 Lyapunov指数小于零的方向相体积收缩，运动轨道稳定且对初始条件不敏感。Lyapunov指 数大于零的方向反映了体系在某个 “方向”上不断膨胀，以致吸引子本来临近的状态变得越 来越不相关，体系初始任何小的不确定性将导致系统长时间行为的不可预测性，这就是所谓 的初值敏感性。对于奇异吸引子 (混沌运动)来说，Lyapunov指数至少有一个为正值。 对于一个确定方程表示的系统，我们容易知道系统的混沌吸引子的最大维数。但对于时 间序列，只能通过相空间重构技术来求得最大Lyapunov指数。对实际观测到的一维序列 x(n),n二1,2,...,N，通过选取一个适当的时滞参数T和嵌入维数m，重新构造一个m维 的相空间R:X(m,z)=(x(t),x(t+r),x(t+2z),,x(t+(m-1)z))T n=1,2,,N.，这 样就可以用Wolf等人提出的算法计算最大Lyapunov指数。在重构相空间R中选择一条基 准轨线和它在上面的一个初始点x(to)，再在x(to)附近选取另一个点得到距离矢量/(to)，使 111(t0)11足够小，且/(to)的方向与基准轨线在x(to)的切向量方向不平行，1(to)经过适当的时 间演化后变成了1(t,),x(to)沿基准轨线变成了x(t,);如果III(t1)II变得过大，须重新选择 x(t,)处的向量1(t,)代替1(t,)，使，(t,)尽可能