1函数的单调性.docVIP

全方位教学辅导教案 学科：数学 任课教师：唐娅妮 授课时间：2013年 8月 日 星期 学 生 孙彧 性 别 年 级 一、教学引入 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律： 随x的增大，y的值有什么变化？ 能否看出函数的最大、最小值？ 函数图象是否具有某种对称性？ （一）函数单调性定义 1．增函数 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数（increasing?function）． 思考 ：仿照增函数的定义说出减函数的定义．（学生活动） 注意： 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1x2时，总有 f(x1)f(x2) ． 2．函数的单调性定义 如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性 ，区间D叫做y=f(x)的单调区间 ： 3．判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤： 任取x1，x2∈D，且x1x2； 作差f(x1)－f(x2)； 变形（通常是因式分解和配方）； 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）． （二）典型例题 例1? 如图6是定义在闭区间[-5，5]上的函数的图象，根据图象说出的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数. 说明：函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题；另外，中学阶段研究的主要是连续函数或分段连续函数，对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调，因此，在考虑它的单调区间时包括不包括端点都可以 ；还要注意，对于在某些点上不连续的函数，单调区间不包括不连续点. ★函数单调性的证明 例2 证明函数在R上是增函数.证明 ：设是R上的任意两个实数，且，则 －=(3+2)-(3+2)=3(－), 由x,得－0 ,于是－0,即 . ∴在R上是增函数. 例3 证明函数在(0,+)上是减函数. ★判断函数的单调性 ?例4 ．讨论函数在(-2,2)内的单调性. 例5 ．作出函数y =－x2 +2 | x | + 3的图象并指出它的的单调区间． 例6 判断函数在R上是增函数还是减函数？并证明你的结论. 例7 判断函数=在(-,0)上是增函数还是减函数并证明你的结论. 例8 ⑴ 判断函数在R上的单调性，并说明理由. （2）判断函数=+1在(0,+)的单调性 （一）、选择题 [ ] A．增函数 B．既不是增函数又不是减函数 C．减函数 D．既是增函数又是减函数 [ ] A．(1)和(2) B．(2)和(3) C．(3)和(4) 　　　D．(1)和(4) 3．若y＝(2k－1)x＋b是R上的减函数，则有[ ] 4．如果函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，那么实数a的取值范围是[ ] A．a≥－3　　B．a≤－3 C．a≤5 　D．a≥3 5．函数y＝3x－2x2＋1的单调递增区间是[ ] 6．若y＝f(x)在区间(a，b)上是增函数，则下列结论正确的是[ ] B．y＝－f(x)在区间(a，b)上是减函数 C．y＝|f(x)|2在区间(a，b)上是增函数 D．y＝|f(x)|在区间(a，b)上是增函数 7．设函数f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，则[ ] A．f(a)＞f(2a)　　　　　B．f(a2)＜f(a) C．f(a2＋a)＜f(a)　　　D．f(a2＋1)＜f(a)（二）、填空题 3．函数y＝4x2－mx＋5，当x∈(－2，＋∞)时，是增函数，当x∈(－∞，－2)时是减函数，则f(1)＝________． 6．函数f(x＋1)＝x2－2x＋1的定义域是[－2，0]，则f(x)的单调递减区间是________． 7．已知函数f(x)是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f(a2－a＋1) ax2＋bx在(0，＋∞)上是________函数(填增还是减)． （三）、解答题 3．已知函数f(x)＝2x2＋bx可化为f(x)＝2(x＋m)2－4的形式．其中b＞0．求f(x)为增函数的区间． 4．已知函数f(x)，x∈R，满足①f(1＋x)＝f(1－x)，②在[1，＋∞]上为增函数，③x1＜0，x2