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2-9函数与方程 一、选择题 1．若方程2ax2－x－1＝0在(0,1)内恰有一解，则a的取值范围为(　　) A．a－1 B．a1 C．－1a1 D．0≤a1 [答案]　B [解析]　f(x)＝2ax2－x－1 f(0)＝－10　f(1)＝2a－2 由f(1)0得a1.故选B. 2．(2012·山东临沂)已知函数f(x)＝(x2－3x＋2)g(x)＋3x－4，其中g(x)是定义域为R的函数，则方程f(x)＝0在下面哪个范围内必有实数根(　　) A．(0,1)　　 B．(1,2)　　 C．(2,3)　　 D．(2,4) [答案]　B [解析]　f(1)＝0×g(x)－10，f(2)＝0×g(x)＋20，故在(1,2)上必有实根． 3．关于方程3x＋x2＋2x－1＝0，下列说法正确的是(　　) A．方程有两不相等的负实根 B．方程有两个不相等的正实根 C．方程有一正实根，一零根 D．方程有一负实根，一零根 [答案]　D [解析]　令f1(x)＝3x f2(x)＝－x2－2x＋1＝2－(x＋1)2 则方程的根即为两函数图像交点横坐标 由图像知方程有一负根，一零根． 4．已知f(x)＝1－(x－a)(x－b)(ab)，m，n是f(x)的零点，且mn，则实数a，b，m，n的大小关系是(　　) A．mabn B．amnb C．ambn D．manb [答案]　A [解析]　本题考查函数性质，主要是函数的零点、单调性．如图， f(a)＝f(b)＝1，f(m)＝f(n)＝0，结合图形知，选A. 5．若函数f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是(　　) A．(－2,2) B．[－2,2] C．(－∞，－1) D．(1，＋∞) [答案]　A [解析]　本题考查了函数零点的判断方法及一元二次方程根与系数的关系．由于函数f(x)是连续的，故只需两个极值异号即可．f′(x)＝3x2－3，令3x2－3＝0，则x＝±1，只需f(－1)f(1)0，即(a＋2)(a－2)0，故a(－2,2)． 6．(2011·新课标文，10)在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为(　　) A．(－，0) B．(0，) C．(，) D．(，) [答案]　C [解析]　本题考查了函数零点的判断．y＝f(x)在(a，b)上单调且有零点时有f(a)f(b)0. 依次验证选项．f＝－40，f(0)＝－20，A错，f＝e－20，B错．f＝e－10，选C. 二、填空题 7．已知方程f(x)＝0在(1,2)内有唯一解，用二分法求方程的近似解时，若要使精确度为0.1，则使用二分法的最多次数为________． [答案]　4 [解析]　每一次使用二分法，区间长度为原区间长度的，设n次后达到精确度，则只需0.1，即n≥4. 8．若函数f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2和3，则不等式af(－2x)0的解集是________． [答案]　 [解析]　由于函数f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2和3，即方程x2＋ax＋b＝0的两个根是－2和3. 因此解得a＝－1，b＝－6， 故f(x)＝x2－x－6. 所以不等式af(－2x)0，即－(4x2＋2x－6)0， 解得－x1. 三、解答题 9．关于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间 [0,2]上有解，求实数m的取值范围． [解析]　设f(x)＝x2＋(m－1)x＋1，x[0,2]， 若f(x)＝0在区间[0,2]上有一解， f(0)＝10，则应有f(2)≤0， 又f(2)＝22＋(m－1)×2＋1，m≤－. 若f(x)＝0在区间[0,2]上有两解，则 ，， ，－≤m≤－1， 由可知m≤－1. 一、选择题 1．设函数f(x)＝4sin(2x＋1)－x，则在下列区间中函数f(x)不存在零点的是(　　) A．[－4，－2] B．[－2,0] C．[0,2] D．[2,4] [答案]　A [解析]　本题判断f(x) ＝0在区间内是否成立，即 4sin(2x＋1)＝x是否有解．如图： 显然在[2,4]内曲线y＝4sin(2x＋1)，当x＝π－时，y＝4，而曲线y＝x，当x＝π－4，有交点，故选A. 2．(2012·山东济南)若方程xx＝x的解为x0，则x0属于以下区间(　　) A. B. C. D．(1,2) [答案]　B [解析]　构造函数f(x)＝xx－x，易知该函数是R上的减函数． 又f＝－0， f＝－0. x0∈. 二、填空题 3．(2011·辽宁文，16)已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________． [答案]　(－∞，2ln2－2] [解析]　本题考查了用函数与方程的思想方法来对题目进行转化变形的能力． 函数f(x)＝ex－2x＋a有零