2.1.3 函数的单调性 学案(人教B版必修1).docVIP

2.1.3　函数的单调性自主学习 学习目标 1．理解单调性的定义． 2．运用单调性的定义判断函数的单调性． 自学导引 1．增函数与减函数 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间MA.如果取区间M中的________________，改变量Δx＝x2－x10，则当____________________时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数(如图甲)，当____________________时，那么就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数(如图乙)． 2．单调性与单调区间 如果一个函数在某个区间M上是________或是________，就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为________________． 3．a0时，二次函数y＝ax2＋bx＋c的单调递增区间为__________． 4．k0时，y＝kx＋b在R上是________函数． 5．函数y＝ (k0)的单调递减区间为________________． 对点讲练 知识点一　利用图象求单调区间 例1 求下列函数的单调区间． (1)f(x)＝3|x|；　(2)f(x)＝|x2＋2x－3|. 规律方法　函数的单调区间可以是开的，也可以是闭的，也可以是半开半闭的，对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也单调．因此，只要单调区间端点使f(x)有意义，都可以使单调区间包括端点．但要注意，不连续的单调区间必须分开写，不能用“”符号连接它们． 变式迁移1 写出函数f(x)＝＋1(a≠0)的单调区间． 知识点二　利用定义证明函数的单调性 例2 证明：函数f(x)＝x＋在(0,1)上是减函数． 规律方法　证明函数的单调性的常用方法是利用函数单调性的定义．其步骤为(1)取值(注意x1、x2的任意性)；(2)作差变形(目的是便于判断符号)；(3)判断差的符号；(4)写出结论． 变式迁移2 利用单调性的定义证明函数y＝x－在(0，＋∞)上是增函数． 知识点三　函数单调性的应用 例3 已知函数f(x)＝ (x∈[2，＋∞))， (1)求f(x)的最小值； (2)若f(x)a恒成立，求a的取值范围． 规律方法　运用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法，特别是当函数图象不好作或作不出来时，单调性几乎成为首选方法．另外f(x)a恒成立，等价于f(x)mina，f(x)a恒成立，等价于f(x)maxa. 变式迁移3 求函数f(x)＝在区间[2,5]上的最大值与最小值；若f(x)a在[2,5]上恒成立，求a的取值范围． 1．函数的单调区间必须是定义域的子集．因此讨论函数的单调性时，必须先确定函数的定义域． 2．研究函数的单调性，必须注意无意义的特殊点，如函数f(x)＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，但不能说函数f(x)＝在定义域上是减函数． 3．求单调区间的方法：(1)图象法；(2)定义法；(3)利用已知函数的单调性． 4．用单调性的定义证明函数的单调性分四个主要步骤：取值——作差变形——定号——判断． 若f(x)0，则判断f(x)的单调性可以通过作比的方法去解决，即“取值——作比变形——与1比较——判断”. 课时作业 一、选择题 1．下列说法中正确的有(　　) 若x1，x2I，当x1x2时，f(x1)f(x2)，则y＝f(x)在I上是增函数； 函数y＝x2在R上是增函数； 函数y＝－在定义域上是增函数； y＝的单调区间是(－∞，0)(0，＋∞)． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．设(a，b)，(c，d)都是函数f(x)的单调增区间，且x1(a，b)，x2(c，d)，x1x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系是(　　) A．f(x1)f(x2) B．f(x1)f(x2) C．f(x1)＝f(x2) D．不能确定 3．下列函数在区间(2，＋∞)上为减函数的为(　　) A．y＝2x－7 B．y＝－ C．y＝－x2＋4x＋1 D．y＝x2－4x－3 4．若函数f(x)＝x2＋2(a－2)x＋2在区间[4，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是(　　) A．a≤－2 B．a≥－2 C．a≥－6 D．a≤－6 5．设函数f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，则(　　) A．f(a)f(2a) B．f(a2)f(a) C．f(a2＋a)f(a) D．f(a2＋1)f(a) 二、填空题 6．已知函数f(x)为区间[－1,1]上的增函数，则满足f(x)f的实数x的取值范围为________． 7．函数f(x)＝2x2－3|x|的单调递减区间是____________________________________． 8．若函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，则函数y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是单调______