2.1.3数学归纳法及其应用举例3.pptVIP

* * 2.1数学归纳法及其应用举例 2.1数学归纳法及其应用举例 2.1数学归纳法及其应用举例 2.1数学归纳法及其应用举例 2.1数学归纳法及其应用举例 2.1数学归纳法及其应用举例 2.1数学归纳法及其应用举例 第三课时 数学归纳法是一种证明与自然数有关的数学命题的重要方法。 其格式主要有两个步骤、一个结论: （1）验证当n取第一个值n0（如 n0=1或2等）时结论正确； 验证初始条件 （2）假设n=k时结论正确，在假设之下，证明n=k+1时结论也正确； 假设推理 （3）由（1）、（2）得出结论. 点题 找准起点 奠基要稳 用上假设 递推才真 写明结论 才算完整 一、复习引入： 1、数学归纳法是一种完全归纳法 ，它是在可靠的基础上，利用命题自身具有的传递性，运用“有限”的手段，来解决“无限”的问题。 2、它克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷. 数学归纳法的核心思想 例1、是否存在常数a、b,使得等式: 对一切正整数n都成立,并证明你的结论. 解:令n=1,2,并整理得 以下用数学归纳法证明: (1)当n=1时,由上面解法知结论正确. (1)数学归纳法证明等式问题： 二、数学归纳法应用举例： (2)假设当n=k时结论正确,即: 则当n=k+1时, 故当n=k+1时,结论也正确. 根据(1)、(2)知,对一切正整数n,结论正确. 例2、已知正数数列{an}中,前n项和为sn,且 用数学归纳法证明: 证:(1)当n=1时, =1,结论成立. (2)假设当n=k时,结论成立,即 则当n=k+1时, 故当n=k+1时,结论也成立. 根据(1)、(2)知,对一切正整数n,结论都成立. (2)数学归纳法证明整除问题： 例1、用数学归纳法证明: 当n为正偶数时,xn-yn能被x+y整除. 证:(1)当n=2时,x2-y2=(x+y)(x-y),即能被x+y整除,故命 题成立. (2)假设当n=2k时,命题成立,即x2k-y2k能被x+y整除. 则当n=2k+2时,有 都能被x+y整除. 故x2k+2-y2k+2能被x+y整除,即当n=2k+2时命题成立. 由(1)、(2)知原命题对一切正偶数均成立. 例2、用数学归纳法证明: 能被8 整除. 证:(1)当n=1时,A1=5+2+1=8,命题显然成立. (2)假设当n=k时,Ak能被8整除,即 是8的倍数. 那么: 因为Ak是8的倍数,3k-1+1是偶数即4(3k-1+1)也是 8的倍数,所以Ak+1也是8的倍数,即当n=k+1时,命题成立. 由(1)、(2)知对一切正整数n, An能被8整除. 例3、求证:x3n-1+x3n-2+1能被x2+x+1整除. 证:(1)当n=1时, x3n-1+x3n-2+1= x2+x+1,从而命题成立. (2)假设当n=k时命题成立,即x3k-1+x3k-2+1能被 x2+x+1整除 则当n=k+1时,x3(k+1)-1+x3(k+1)-2+1=x3k+2+x3k+1+1 =x3(x3k-1+x3k-2+1)-x3+1 = x3(x3k-1+x3k-2+1)-(x-1)(x2+x+1) 因为x3k-1+x3k-2+1、x2+x+1都能被x2+x+1整除,所以上式右边能被x2+x+1整除. 即当n=k+1时,命题成立. 根据(1)、(2)知,对一切正整数n,命题成立. 例1、平面内有n (n?2)条直线，任何两条都不平行，任何三条不过同一点，问交点的个数 为多少?并证明. 当n=k+1时：第k+1条直线分别与前k条直线各交于 一点，共增加k个点， 由1）、2）可知，对一切n∈N?原命题均成立。 证明：1）n=2时：两条直线交点个数为1, 而f(2)= ×2×(2-1)=1, ∴命题成立。 ∴k+1条直线交点个数=f(k)+k= k(k-1)+k = k(k-1+2)= k(k+1)= (k+1)[(k+1)-1]=f(k+1), 即当n=k+1时命题仍成立。 2）假设n=k(k