2.2. 分式的乘除法.docVIP

分式的乘除法 互动思维导图 [基础知识与基本技能] 1．分式的乘除法法则 ⑴分式乘法的法则为： 分式乘以分式，把分子乘以分子，分母乘以分母，分别作为积的分子、分母，然后约去分子与分母中的公因式．用符号语言表达：·=． ⑵分式除法的法则为： 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．用符号语言表达：÷=·＝（u≠0）． ［温馨提示］分式的乘除法的计算方法及技巧： ①分式与分式相乘，如果分子和分母是多项式，则先分解因式，看能否约去公因式，然后再乘；② 整式与分式相乘，可以直接把整式（整式的分母是l ）和分式的分子相乘作分子，分母不变．当整式是多项式时，同样要先分解因式；③ 分式的除法可以统一到分式的乘法，即颠倒除式的分子、分母，再与被除式相乘；④ 分式的乘除法的计算结果，要通过约去公因式，化为分子、分母没有公因式的分式或整式． 例1-1计算． （1）； （2）． 分析：⑴式是两个分式相乘，分式的分子、分母都是单项式，可直接利用分式乘法法则进行计算；⑵中的两个分式相乘，分子或分母是多项式，要先对分子或分母进行因式分解，然后再运用法则计算． 解：（1）． （2）． 方法技巧：⑴两个分式相乘，如果分子、分母是多项式，那么要先对分子或分母因式分解．然后运用分式的乘法法则进行计算；⑵最后计算的结果要通过约去分子、分母的公因式（数）化到最简；⑶在分式的乘法运算中，既可以用法则来计算，也可以根据情况先约去公因式再相乘，后者方法有时会更简便． 例1-2计算与化简： （1）÷； ⑵÷； ⑶÷（4x2-y2）． 思维幻灯片： 分析：⑴中的分式的分子、分母都是单项式，可以直接利用分子计算；⑵中的分子或分母有多项式，先把多项式因式分解，然后再运用法则计算；⑶中的除式是整式，把整式看作是分母为1的式子，再运用除法法则计算． 解：⑴原式=·==； ⑵原式=·=· =． ⑶原式=·=· =． 方法技巧：⑴两个分式相乘，如果分子、分母都是单项式，可以直接利用分式除法法则进行计算，如果分子、分母有多项式，那么要先对分子或分母进行因式分解，然后运用分式的除法法则进行计算；⑵计算结果通过约去公因式化到最简或整式；⑶如果遇到分式与整式相乘除时，可以把整式看作分母为1的式子进行计算；⑷通常情况下，计算最后的结果要使分子和分母的符号都为正号． 2．分式的约分 把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分． 约分的关键是正确找出分子与分母的公因式．其一般方法是：①当分子和分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公因数，再找相同字母的最低次幂；②当分子和分母都是多项式时，首先要对分子、分母进行因式分解，把分子、分母变为几个因式的积后，再找分子、分母的公因式． ［温馨提示］⑴约分的依据是分式的基本性质，分子、分母都除以的整式是它们的公因式．由于原分式有意义，可知分子与分母的公因式一定不为零，故利用分式的基本性质约去公因式时，不必强调公因式不为零，直接约分即可． ⑵要牢记分子、分母都是乘积形式时，才能进行约分；分子、分母是多项式时，通常先将分子、分母分解因式，然后再约分． 例3-1约分． 分析：分子的数字因数是35，分母的数字因数是21，其最大公因数是7，分子、分母中的相同因式是、，其最低次幂分别为2、3，故最大公因式是7. 解：． 方法技巧：当约分的分式的分子、分母都是单项式时，只要约去分子、分母的最大公因数和相同字母的最低次幂即可． 例3-2约分：． 分析． 方法技巧：约分的根据是分式的基本性质，将分子、分母的公因式约去，若分子、分母是多项式，须先因式分解，再约去公因式．特别注意分子、分母必须是乘积形式时才能进行约分． 4．最简分式 分子与分母没有公因式的分式，叫作最简分式．用符号语言表达： ［温馨提示］化简分式时，通常要使结果成为最简分式或者整式．判断一个分式是否是最简分式，首先判断分子与分母间是否有公因式，若有公因式，则还需要约分；若没有公因式，则说明是最简分式． 例4 下列分式中，是最简分式的有（ ） ，，， A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 分析：分子分母是多项式的，先把分子、分母都分解因式，看分子、分母中是否有公因式，第1个不能再分解了，是最简分式；第2个可化为有公因式x2-1；第3个不能分解，也没有公因式；第4个可化为没有公因式，是最简分式．故有3个最简分式． 解：C． 方法技巧：判断一个分式是否是最简分式，关键看分子、分母中有没有公因式，有些分式的分子、分母虽然都能因式分解，都是分解后仍然没有公因式，这样的分式仍然是最简分式． 5．分式的乘方 分式的乘方是把分子、分母各自乘方．用符号语言表达：． ［温馨提示］⑴计算分式的乘方时，可以类比分数的乘方，可理解为分式的乘方等于分子、分母