2.2 部分分式.pptVIP

2.2 部分分式 部分分式是有理分式运算和变形的重要内容，在高等数学有理函数积分中有着重要的应用. 利用多项式除法，总可以把一个假分式化成一个整式和一个真分式的和，且这种表示法是唯一的。因此我们主要研究真分式。 例如 在很多应用问题中，要求我们把一个真分式分解 为几个真分式代数和的形式，例如 其中两个比较简单的真分式 ， 叫做原分 式 的部分分式。 部分分式：由一个真分式分解成几个真分式代数 和，这几个分式中的每一个真分式叫做原分式的部分 分式或分项分式。 如何把真分式分解呢？ 由我们做分式加法的经验，注意到 和 互质，它们 的最低公倍式是 ，所以 一定是这样 两个真分式 与 的和，那么如何来求系数a,b呢？ 方法1：待定系数法 即设 其中a,b是待定常数，去分母， 得 于是有 比较两边同次项系数，得 所以a=2,b=1,把a=2,b=1代入原式得 方法2：数值代入法 即设 其中a,b是待定常数， 去分母，得 且是恒等式，即 x可以取任意值。令x=1代入恒等式，得b=1；再令 x= 代入得a=2,所以 例1 化分式 为部分分式。 解：原分式为假分式，应先化为代分式。 设 去分母，得 用数值代入法求a,b,c,令 所以 例2 化分式 为部分分式 解：因 故设 于是 即 比较两边同次项系数，得 解这个方程组，得 a=1,b=1,c=0 所以 例3 化分式 为部分分式。 解： 设 即 为了求a，比较上式两边的系数，得1=-2a+c 将c= 代入上式得a= 所以 分析：原式可设为 但由于 而2a+e为常数，令2a+e=b,于是可设 例4 化分式 为部分分式 解：利用配方法可以将分子化为关于 的二次多项 式，即 因为上式为恒等式，令x=1得c=2；令x=2得7=a+b+2； 令x=0得 1=a-b+2，联立方程解得a= 2 ，b=3 所以 即 对于某些分式我们可用观察法把它分解为部分因 式，例如 综合以上各例，可以归纳出以下结论： 如果多项式 在实数集内能分解成一次因式的幂与二次因式 的幂的乘积，即 其中 ，则真分式 可以分解成 如下部分分式之和： 其中 都是常数 * *