2.2. 向量组的秩和线性相关性.pptVIP

? §2.2 向量组的秩和线性相关性 §2.2 向量组的秩和线性相关性 一. 基本概念 列向量组: ?1, ?2, …, ?s 矩阵A = (?1, ?2, …, ?s) 矩阵A的秩 向量组?1, ?2, …, ?s的秩 r(?1, ?2, …, ?s) 第二章 n维列向量 ? ? 行向量组: ?1, ?2, …, ?s 矩阵A的秩 向量组?1, ?2, …, ?s的秩 矩阵A = ?1 ?2 ?s … r(?1, ?2, …, ?s) §2.2 向量组的秩和线性相关性 第二章 n维列向量 ? r(?1, ?2, …, ?s) ? s r(?1, ?2, …, ?s) s r(?1, ?2, …, ?s) = s ?1, ?2, …, ?s 线性无关 ?1, ?2, …, ?s 线性相关 §2.2 向量组的秩和线性相关性 第二章 n维列向量 (linearly dependent) (linearly independent) ? ?1, ?2, …, ?s线性相关 ? ?1T, ?2T, …, ?sT线性相关 几个显然的结论: (1) 注意: 不要混淆: “矩阵A的列向量组线性相关” “矩阵A的行向量组线性相关”与 如: A = 1 0 1 0 1 0 §2.2 向量组的秩和线性相关性 第二章 n维列向量 ? (2) 只含有一个向量?的向量组线性相关 ? ? = 0. (4) 含两个向量?, ?的向量组线性相关 ? ?, ? 的分量成比例. (5) 当s n时, 任意s个n维向量都线性相关. (3) 含有零向量的向量组一定线性相关. §2.2 向量组的秩和线性相关性 第二章 n维列向量 例题2.2 求下列向量矩阵的的秩，并判断它们是不是线性相关的。 （1） （2） （3）n维基本单位向量组 解：(1)记 则因为 ，所以行列式的秩小于3，明显 的，A的2阶行列式 故A的秩等于2，因此三个向量线性相关。 容易求得r(A)=3,因此向量组线性无关。 (3) 因为ε1, ε2 ,..., εn 对应的矩阵是单位矩 阵, 从而其秩为n，故该向量组是线性无关的 (2)记 例题2.3 设 线性无关，且 证明： 线性无关。 解：只对列向量的情形证明。记 据已知条件知，B=AP 而矩阵P是可逆 的，因此，r(A)=r(B)，因此 线性无关。 ? 二. 向量组秩的性质 A: ?1, ?2, …, ?r B: ?1, ?2, …, ?s 若B组中的每个向量都能由A组中的向 量线性表示, 则称向量组B能由向量组 A线性表示. 1. 给定两个向量组 §2.2 向量组的秩和线性相关性 第二章 n维列向量 能由 线性表示, 例如: 2 0 3 0 , 1 0 0 1 , 但 2 0 3 0 不能由 线性表示. , 1 0 0 1 , ? 若向量组B能由向量组A线性表示，同时 向量组A能由向量组B线性表示, 则称这 两个向量组等价. §2.2 向量组的秩和线性相关性 第二章 n维列向量 A: ?1, ?2, …, ?r B: ?1, ?2, …, ?s 4. 给定两个向量组 显然, (1)向量组A与其自身等价(反身性); (2) 若A与B等价, 则B与A等价(对称性); (3) 若A与B等价且B与C等价, 则B与A等价 (传递性). 定理2.1 如果向量组β1, β2, ..., βt可以由α1, α2 ,..., αs线性表示, 则 r{β1, β2, ..., βt} ≤r{α1, α2,..., αs} 推论2.1 如果向量组β1, β2, ..., βt可以由α1, α2,..., αs线性表示, 且t s, 则向量组β1, β2, ..., βt一定线性相关。 推论2.2 如果向量组β1, β2, ..., βt与向量组α1, α2,..., αs等价, 则 r{β1, β2, ..., βt} =r{α1, α2,..., αs} 推论2.3 如果向量组β1, β2, ..., βt与向量组α1, α2,..., αs都线性无关且相互等价，则s = t ? 例2.4. 设有两个向量组 I: ?1=[1, 1], ?2=[1, ?1], ?3=[2, 1], II: ?1= [1, 0], ?2= [1, 2]. 即I可以由II线性表示. 则?1= ?1+ ?2, 2 1 2 1 ?2= ?1? ?2, 2 3 2 1 ?