2.2.2直接证明与间接证明.pptVIP

* 前面我们学习了直接证明的两种最基本的方法： 综合法和分析法，其基本特点如下： P→Q1→Q2→...→Qn→ Q←Pn←... ←P2 ←P1←P 实际证题过程，分析与综合是统一运用的 解法的探讨 解答个一般方式 关系 Q←P1←P2←...←Pn←P P→Q1→Q2→...→Qn→Q 格式 不要条件 充分条件 条件 由果索因 分析法 由因索果 综合法 特点 反证法(reduction to absurdity)是间接证明的一种基本方法，对于这种方法，我们在日常生活中并不陌生，在我们日常生活中，我们经常不自觉的利用这种方法来解决一些实际问题。 古时候有个人叫王戎，7岁那年的某一天和小伙伴在路边玩，看见一棵李子树上的果实多得把树枝都快压断了，小伙伴们都跑去摘，只有王戎站着没动。他说：“李子是苦的,我不吃。”小伙伴摘来一尝，李子果然苦的没法吃。 路边苦李 小伙伴问王戎:“这就怪了!你又没有吃,怎么知道李子是苦的啊?” 王戎说:“如果李子是甜的,树长在路边,那么李子早就没了！李子现在还那么多,所以啊,肯定李子是苦的!” 例1 如果直接证明，我们基本上是不知道从哪里着手，虽然我们有方法计算它的值，但不可能将它无止境的计算下去，这样做比较麻烦或根本就不可能，那么我们就采用反证法来证明。 反证法： 反证法 1.定义：从命题的反面出发，引出矛盾，从而证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。 2、反证法的基本思路：只要证明所求证的结论不成立是错误的，从而肯定求证的结论是成立的。 3.反证法证题的基本步骤 假设命题的结论不成立,即假 设结论的反面成立； 从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； (3) 由矛盾判定假设不正确， 从而肯定命题的结论正确。 归缪矛盾： （1）与已知条件矛盾； （2）与已有公理、定理、定义矛盾； （3）可能与临时假设矛盾； （4）自相矛盾。 反证法的一般适用情形： （1）结论为否定性命题； （2）结论为“至少”、“至多”类命题； （3）结论为 “唯一”类命题； （4）结论为 “有无穷多个”类命题。 例2(反证法)证明：圆的两条不全是直径的相交弦不能互相平分. 已知：在⊙O中,弦AB、CD交于P，且AB、CD不是直径 求证：弦AB、CD不被P平分。 证明：假设AB，CD相互平分，则四边形ABCD为平行四边形 ∴∠ACB＝∠ADB，∠CAD＝∠CBD ∵ABCD为圆内接四边形 ∴∠ACB +∠ADB ＝180°，∠CAD+ ∠CBD＝180° ∴∠ACB＝∠CAD＝90° ∴弦AB,CD均为直径，与已知矛盾 ∴AB,CD不可能平分 1、求证：两条直线相交，只有一个交点。 已知：直线 、 相交 求证：直线 、 只有一个交点。 A B 练习 例3 证明: 证明 假设_________或_________, 由于____________时,_________________, 与 (x-a)(x-b)≠0矛盾, 又_________时,_________________, 与(x-a)(x-b)≠0矛盾, 所以______________________. x=a x=b x=a (x-a)(x-b)=0 x=b (x-a)(x-b)=0 x ≠a且x ≠b 2.求证：若(x-a)(x-b)≠0,则x ≠a且x ≠b. “不能不” 反证法 通常的证明方法： “对” “不对” 矛盾