2.2二次函数.docVIP

§2.2 二次函数 基础知识： 二次函数的解析式 （1）一般式： （2）顶点式：，顶点为 （3）两根式： （4）三点式： 2．二次函数的图像和性质 （1）的图像是一条抛物线，顶点坐标是，对称轴方程为，开口与有关。 （2）单调性：当时，在上为减函数，在上为增函数；时相反。 （3）奇偶性：当时，为偶函数；若对恒成立，则为的对称轴。 （4）最值：当时，的最值为，当时，的最值可从中选取；当时，的最值可从中选取。常依轴与区间的位置分类讨论。 3．三个二次之间的关联及根的分布理论： 二次方程的区间根问题，一般情况需要从三个方面考虑：判别式、区间端点函数值的符号；对称轴与区间端点的关系。 综合应用： 例1：已知，若时，恒成立，求的取值范围。 例2．设满足条件：（1）当时，，（2）当， （3）在R上的最小值为0。①求的解析式；②求最大的使得存在，只要就有。 设实数ab、c满足a2－bc－8a＋7＝0 …………①b2＋c2＋bc－6a＋6＝0 …………②求a的取值范围. 分析：如何将含有三个变量的两个方程组成的方程组问题，转化为只含有a的不等式，是解决本题的关键，仔细分析观察方程组的特点，发现可以利用a来表示bc及b＋c，从而用韦达定理构造a为变量的一元二次方程，由△≥0建立a的不等式. 解：由①得：bc＝a2－8a＋7 …………③ 由①②得：(b＋c)2＝a2－2a＋1 即b＋c＝±(a－1) …………④由③④得b，c为方程x2±(a－1)x＋(a2－8a＋7)＝0的两个实数根，由于b，c∈R，所以△≥0即[±(a－1)]2－4(a2－8a＋7)≥0即a2－10a＋9≤0得：1≤a≤9和一次函数，其中满足，，． （1）求证：两函数的图像交于不同的两点A、B； （2）求线段在轴上的射影的范围。 命题意图：本题主要考查考生对函数中函数与方程思想的运用能力. 知识依托：解答本题的闪光点是熟练应用方程的知识来解决问题及数与形的完美结合. 错解分析：由于此题表面上重在“形”，因而本题难点就是一些考生可能走入误区，老是想在“形”上找解问题的突破口，而忽略了“数”. 技巧与方法：利用方程思想巧妙转化. (1)证明：由消去y得ax2+2bx+c=0 Δ=4b2－4ac=4(－a－c)2－4ac=4(a2+ac+c2)=4［(a+c2］ ∵a+b+c=0,abc,∴a0,c0 ∴c20,∴Δ0,即两函数的图象交于不同的两点. (2)解：设方程ax2+bx+c=0的两根为x1和x2,则x1+x2=－,x1x2=. |A1B1|2=(x1－x2)2=(x1+x2)2－4x1x2 ∵abc,a+b+c=0,a0,c0 ∴a－a－cc,解得∈(－2,－) ∵的对称轴方程是. ∈(－2,－)时，为减函数 ∴|A1B1|2∈(3,12),故|A1B1|∈(). 例4．已知二次函数f(x)=ax2+bx (a,b是常数，且a≠0)满足条件：f(x－1)=f(3－x)，且方程f(x)=2x有等根。 ①求f(x)的解析式； ②是否存在实数m，n (mn)，使f(x)的定义域和值域分别为[m,n]和[4m,4n]？如果存在，求出m,n的值；如果不存在，请说明理由。 解析：①∵方程f(x)=2x有等根(⊿＝0(b=2 ∵f(x－1)=f(3－x)(f(x)=f(2-x)(图象的对称轴为x=-=1(a=-1 ∴f(x)=-x2+2x ②f(x)=-(x-1)2+1≤1 ∴4n≤1(n≤ ∵抛物线y=-x2+2x的对称轴为x=1 ∴n≤时，f(x)在[m,n]上为增函数 若满足题设条件的m,n存在，则 ( ∵mn≤ ∴m=-2,n=0，这时定义域为[-2,0]，值域为[-8,0] ∴存在m=-2,n=0，满足条件。 例5．对于函数y=f(x)，若存在实数x0，满足f(x0)=x0，则称x0为f(x)的不动点。已知F1(x)=f(x), F2(x)=f[F1(x)], F3(x)=f[F2(x)], …, Fn(x)=f[Fn-1(x)] (n∈N*,n≥2)。 ①若f(x)存在不动点，试问F2(x), F3(x), …,Fn(x)是否存在不动点？写出你的结论，并加以证明。 ②设f(x)=2x-x2。求使所有Fn(x)0　（n∈N*,n≥2）成立的所有正实数x值的集合。 ①y=f(x)存在不动点x0，则f(x0)=x0，下证x0是Fn(x)的不动点。 ∵F2(x0)=f[F1(x0)]=f[f(x0)]f(x0)=x0 ∴x0也是F2(x)的不动点。 若Fn-1(x)存在不动点x0，即Fn-1(x0)=x0 ∴Fn(x0)=f[Fn-1(x0)]=f(x0)=x0( Fn(x)存在不动点x0 综上所述：对于任意n∈