2.3. 恰当方程与积分因子.ppt

小结： 积分因子是求解微分方程的一个极为重要的方法 绝大多数方程求解都可以通过寻找到一个合适的积分因子来解决 但求微分方程的积分因子十分困难,需要灵活运用各种微分法的技巧和经验 P60: T1、 (1), (3), (5) P61: T3、 T5 定理 微分方程 例6 求微分方程 的通解. 解: 由于 故它不是恰当方程 又由于 利用恰当方程求解法得通解为 例7 求解方程 解: 方程改写为: 或: 易看出,此方程有积分因子： 即 故方程的通解为: 例8 求解方程 解: 故方程不是恰当方程, * * * 2.3 恰当方程与积分因子 Appropriate ODE and Integral Factor 1、理解恰当方程的类型。 2、掌握恰当方程的解法及简单积分因子的求法。 本节要求 1、恰当方程的定义及条件 如果恰好碰见方程 就可以马上写出它的隐式解 定义1 则称微分方程 是恰当方程。 1. 恰当方程的定义 例如 需考虑的问题 (1) 方程(1)是否为恰当方程 ? (2) 若(1)是恰当方程, 怎样求解? (3) 若(1)不是恰当方程,有无可能转化为恰当方程求解? 2 .方程为恰当方程的充要条件 为恰当方程的充要条件是 定理1 设函数M（x，y）和 N（x，y）在一个矩形区域 R 中连续且具有连续的一阶偏导数，则方程 证明 “必要性” 设 (1) 是恰当方程, 有函数 u（x，y）, 使得 故有 从而 故 “充分性” 即应满足 因此 事实上 故 注: 若(1)为恰当方程,则其通解为 2、恰当方程的求解 1. 不定积分法 例1 验证方程 是恰当方程,并求它的通解. 解: 故所给方程是恰当方程. 即 积分后得: 故 从而方程的通解为 2 .分组凑微法 采用“分项组合”的方法,把本身已构成全微分的项分出来,再把剩余的项凑成全微分. 例2 求方程 的通解. 解: 故所给方程是恰当方程. 把方程重新“分项组合”得 即 或写成 故通解为: 例3 验证方程 是恰当方程,并求它满足初始条件 y(0)=2 的解. 解: 故所给方程是恰当方程. 把方程重新“分项组合”得 即 或写成 故通解为: 故所求的初值问题的解为: 3、积分因子 非恰当方程如何求解? 变量分离方程: 不是恰当方程. 是恰当方程. 一阶线性方程: 不是恰当方程. 则 是恰当方程. 注：对一些非恰当方程,乘上一个因子后,可变为恰当方程. 定义： 1. 积分因子的定义 例5 解: 对方程有 由于 把以上方程重新“分项组合”得 即 也即 故所给方程的通解为: 2 . 积分因子的确定 即 尽管如此,方程 还是提供了寻找特殊形式积分因子的途径. 变成 即 *