2.4. 分式的加减法.docVIP

分式的加减法 互动思维导图 [基础知识与基本技能] 1．同分母加减法法则 同分母的分式相加减与同分母分数加减法的法则类似，同分母分式加减法的法则是：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减． 同分母分式加减法的法则可以表示为：． ［温馨提示］⑴“分子相加减”是各个分式的“分子的整体”相加减，即各个分子都应有括号（体现分数线的括号功能）．当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，括号不能省略．如：计算-+，依据运算法则，第一步应写成，各分子都应有括号，否则就会出现错误．⑵分式加减运算的结果能约分的要约分，最后结果必须化成最简分式或整式． 例1-1计算：⑴；⑵-+； ⑶-+． 分析：按照同分母加减法法则运算，计算结果要注意化简． 解：⑴原式===2． ⑵原式== ． ⑶原式====． 误区警示：当同分母的分式相加减时，分式的分子是一个整体，注意要添加括号，以防止出错． 例1-2计算． 思维幻灯片： 分析：各分式的分母虽然不完全相同，但是最后一个分式的分母通过变号能化成与前两个分式的分母相同，然后可以按照同分母分式的加减法法则进行． 解：原式= = = ==3． 方法技巧：此类题目看起来不是同分母的加减法，但是分母是类似于“a-b”和“b-a”互为相反数的式子，只要改变其中一个式子的符号，就可以化为同分母，然后即可以按照同分母加减法的法则进行计算了． 2．异分母的分式的加减法 ⑴公分母 通分后，各个分式的分母变成了相同，这时的分母叫作公分母． ⑵异分母的分式的加减法 与异分母分数的加减法法则类似，异分母分式的加减法法则是：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算． 异分母的分式加减法法则表示为： ． ［温馨提示］⑴异分母的分式加减法中，先通分是关键．通分后，异分母的分式加减法变成同分母的分式的加减法．⑵若加减运算中含有整式，应视其分母为l 进行通分．⑶当分子的次数高于或等于分母的次数时，可将其分离为整式与真分式之和参与运算．可使运算简便． 例2-1计算：⑴；⑵－. ． ⑵－－－－ ＝＝＝． 方法技巧：通过分解因式，先对局部约分化简，从而可使通分简捷，通分时一般取各分母的系数的最小公倍数与各分母所有母的最高次幂的积为公分母.注意结果必须化成最简分式或整式． 分析题目中既有分式又有整式，不相统一，我们可以为整体，那么计算起来就可以简便一些.． 方法技巧：此题是一个分式与多项式的和，若把整个多项式看作分母为1的分式， 再通分相加，使得问题的解法更简便． 例2-3计算． 分析我们看到题目中每一个分式的分母是两个因数之积，而分子又是一个定值时，可将每一个分式先拆成两项之差，前后相约后再通分.=． 方法技巧：本题若采用通分相加的方法，将使问题变的十分复杂，注意到分母中各因式的关系，再逆用公式，各个分式拆项，正负抵消一部分，再通分，则计算比较简便． 3．分式的通分 ⑴最简公分母 系数是各个分母系数的最小公倍数，字母和式子是各个分母所有的分母和式子，每个字母或式子的指数取各分母中次数最高的，这样的分母叫作最简公分母． ［温馨提示］公因式与最简公分母的区别：公因式是各项系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积，而最简公分母是各分母系数的最小公倍数与所有各个因式最高次幂的积． 确定最简公分母的一般步骤：① 取各分母系数的最小公倍数；② 凡是在分母中出现的字母为底的幂的因式都要取；③ 以相同字母为底的幂的因式取指数最大的．当各分母是多项式时，先把各多项式分解因式，再按上面的方法求出各分母的最简公分母． ⑵通分 根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分．为了计算方便，异分丹分式通分时，通常取最简的公分母（简称最简公分母）作为它们的共同分母． ［温馨提示］约分与通分的联系及区别：① 约分是把分子、分饮的所有公因式约掉，将分式化为最简分式，通分是把分式的分子、分母同乘以相同的因式，目的是使各分式的分母相同；② 约分是对一个分式而言的，通分则是对多个分式而言的；③ 约分、通分的变形过程，依据都是分式的基本性质，即必须保证每个分式变形后，不改变原分式的意义和大小． 例3-1通分：⑴与； ⑵与． 分析：⑴因为2和3的最小公倍数是6，所以最简公分母的系数是6，因为各分母中共含有两个字母x，y，且x的最高次幂是1，y的最高次幂是2，所以xy2作为最简公分母的项，最简公分母为6xy2．可以发现：通分时，第一个分式的分子、分母需要乘以3xy，第二个分式的分子、分母需要乘以2． ⑵为了找最简公分母，观察各分母都是多项式，则需要将2m+2n和m2-n2分解因式，即2m+2n=2(m+n)，m2-n2=(m+n)(m-n)，可以发现系数的最小公倍数是2，含有的不同的多项式m