2.9.8.分式函数.docVIP

课题： 教材分析 教学重难点 重点 难点 教学处理 知识要点 ５、简单分式不等式的解法 （1）形如 ＞０＞０或 （2）形如＜０＜０或 （３）形如≥０型：≥０ （4）形如≤０型：≤０ 分式不等式主要是转化为，再用数轴标根法求解。 典型例题 分式函数的值域 一次分式函数 、的次数不高于一次的分式函数叫做一次分式函数，即形如的函数． 一次分式函数值域的通常求法是逆求法，即改写成，由于，则，解出y的取值范围，即函数f(x)的值域． 求函数，的值域． 解：改写成，因为，所以，解得，即原函数的值域是． ２．二次分式函数 、至少有一个的次数是二次的分式函数叫做二次分式函数，即形如的函数． 若A=，则可采用根的判别式法求值域． 例２．求函数的值域． 解：化为关于x的方程．若ｙ＝１，则方程无解，即．因为，所以，解得，即原函数的值域是（）． 若A，则再分类讨论． 2.1．形如，且的函数． 先利用二次函数的性质求出分母的值域，再利用复合函数的单调性求出函数的值域． 例３．求函数的值域． 解：令， 则，所以函数的值域是． 2.2．形如，且 (*) 或，且的分式函数． 下面就形式(*)讨论解法． 2.2.1．若ｃ＝０，则分子分母同除以ｘ，得＝．只要讨论函数且的值域． 不妨设．若，则函数在和上分别是增函数；若，则函数在和上分别是减函数，在和上分别是增函数．这样利用函数的单调性，先求出的值域，从而求出函数的值域． 例４．求函数的值域． 解：．令，则，所以函数的值域是． 2.2.2．若，则换元，令，转化为２.２.1．形式的分式函数． 例５．求函数的值域． 解：令，则． 因为，所以函数的值域是． 2.3．形如且的分式函数． 2.3.1．若或，则分子分母同除以，转化为求关于的二次函数的值域，从而求出函数的值域． 例６．求函数的值域． 解：．因为函数 的值域是，所以函数的值域是． 2.3.2．若分子分母有一个是完全平方式，不妨设 且，则可令，转化为2.3.1形式的分式函数． 例７．求函数的值域． 解：令，则．因为 ，所以函数的值域是． 2.3.3．若都不是前两种形式的分式函数，则改写成部分分式，即，转化为2.2形式的分式函数． 例８．求函数的值域． 解：，所以函数的值域是． 分式函数值域的应用 分式函数值域在解析几何中的运用 解析几何的最值问题常常需要求分式函数的值域，掌握了前面的思想方法，那么对于解决此类问题就易如反掌了．下面举例说明． 例９．已知直线：与点，在 上求一点，使直线与直线，以及轴 在第一象限内围成的三角形面积最小． 解：设，直线的方程 是，直线交轴于点．根据题意，所以，，当时，的最小值为40，． 此题的解法是将的面积S表示为Q的横坐标的分式函数，运用求分式函数值域的方法，从而求出面积的最小值． 例10．设F1、F2是椭圆的两个焦点，AB是过焦点F1的一条动弦，试求△ABF2面积的最大值，并确定取得最大值时，AB弦的位置． 解：设AB弦所在的直线方程是 ，，，则 ． 由方程组，消去y， 得，则，， ， 令， ， 当t=3时，有最大值，此时k=0，即AB弦过焦点F1且平行于轴． 此题的解法是将△ABF2面积的平方表示为的二次分式函数，从而求出最大值． 分式函数图象的变换 分式不等式的求解 分式函数的积分 设与是任意两个互质的多项式函数，称形如 ?（3.2） 的函数为有理函数，记作，当时，称为有理真分式，当时，称为有理假分式. 显然任何一个有理假分式，用多项式函数除以多项式函数，总能将表示成为一个多项式函数与一个有理真分式之和.即 其中与均为多项式函数，且.例如 所以讨论有理函数的积分，由于多项式函数是可积的，故只须讨论有理真分式是否可积. 我们首先考虑如下最简分式 ⑴；⑵；⑶；⑷. 的积分方法.其中皆为实常数，二次三项式不能分解为实一次多项式之积，即. 显然 ⑴ ⑵ 而 ⑶ 设，，有 = 又 （3.3） 在式（3.3）右端积分中，令，，有 根据式（2.7），积分有如下递推公式 =，（3.4） 且 从出发，重复应用的递推公式（3.4），再代回原变量及，即可求出类型（4）的最简分式的不定积分. 关于有理真分式的分解，我们有如下定理. 【定理3.1】设是一个有理真分式，且分母多项式函数 其中，，，则有下列最简分式分解式 = 其中. 定理3.1说明任何有理真分式一定可以分解为若干个最简分式之和，而上面的讨论展示了⑴～⑷种类型的最简分式的可积性.从而可知有理函数一定是可积的. 【例3.1】把函数 分解为最简分式之和，并求其不定积分. 【解】由定理3.1知，给定函数的最简分式分解式应为 = 消去分母，有 比较上式两端同次幂系数，有 解此代数方程，有 于是? = 从而= =+ 【例3.2】计算. 【解】设 消去分母，有 （3.6） 在式（3.6）中令