《数学分析》第十七章 多元函数微分学.docVIP

第十七章 多元函数微分学 ( 1 6 时 ) §1 可微性 ( 4 时 ) 可微性与全微分： 可微性：由一元函数引入.亦可写为, 时. 全微分: 例1 考查函数在点处的可微性. [1]P105 E1 偏导数: 偏导数的定义、记法: 偏导数的几何意义: [1]P109 图案17—1. 求偏导数: 例2 , 3 , 4 . [1]P142—143 E2 , 3 , 4 . 例5 设 证明函数在点连续 , 并求和. 证 . 在点连续 . , 不存在 . Ex [1]P116—117 1⑴—⑼，2 — 4 . 可微条件: 必要条件: Th 1 设为函数定义域的内点.在点可微 和存在, 且 . (证) 由于,微分记为. 定理1给出了计算可微函数全微分的方法. 两个偏导数存在是可微的必要条件 , 但不充分. 例6 考查函数在原点的可微性. [1]P110 E5 . 充分条件: Th 2 若函数的偏导数在的某邻域内存在, 且和在点处连续 . 则函数在点可微. (证) [1]P111 Th 3 若在点处连续, 点存在,则函数在点可微. 证 . 即在点可微 . 要求至少有一个偏导数连续并不是可微的必要条件 . 例7 设 验证函数在点可微, 但和在点处不连续 . 证 因此,即 ,在点可微, . 但时, 有 , 沿方向 不存在, 沿方向 极限 不存在; 又时, , 因此, 不存在, 在点处不连续.由关于和对称,也在点处不连续 . 中值定理: Th 4 设函数在点的某邻域内存在偏导数. 若属于该邻域, 则存在和, , 使得 . ( 证 ) 例8 设在区域D内. 证明在D内. 连续、偏导数存在及可微之间的关系： 可微性的几何意义与应用： 可微性的几何意义： 切平面的定义. [1]P115. Th 5 曲面在点存在不平行于轴的切平面的充要条件是函数在点可微 . (证略) 2. 切平面的求法: 设函数在点可微，则曲面在点处的切平面方程为 (其中) ， 法线方向数为， 法线方程为 . 例9试求抛物面 在点处的切平面方程和法线方程 . [1] P115 E6 作近似计算和误差估计: 与一元函数对照, 原理. 例10 求的近似值. [1] P115 E7 例11 应用公式计算某三角形面积.现测得,. 若测量的误差为的误差为 . 求用此公式计算该三角形面积时的绝对误差限与相对误差限. [1] P116 E8 Ex [1]P116—117 5—14 ； § 2 复合函数微分法 （ 5 时 ） 简介二元复合函数 : . 以下列三种情况介绍复合线路图: 参阅[4] P327—328 . ; , ; . 链导法则: 以“外二内二”型复合函数为例. Th 设函数在点D可微, 函数在点可微 , 则复合函数在点可微, 且 , . ( 证 ) [1] P155 称这一公式为链导公式. 该公式的形式可在复合线路图中用所谓“分线加，沿线乘”（或“并联加，串联乘”）来概括. 对所谓“外三内二”、“外二内三”、“外一内二”等复合情况，用“并联加，串联乘”的原则可写出相应的链导公式. 链导公式中内函数的可微性可减弱为存在偏导数. 但对外函数的可微性假设不能减弱. 如[1] P156的例. 对外元, 内元 , 有 ， . 外元内一元的复合函数为一元函数 . 特称该复合函数的导数为全导数. 例1 . 求和. [1] P157 E1 例2 , . 求和. 例3 , 求和. 例4 设函数可微 . . 求、和. 例5 用链导公式计算下列一元函数的导数 : ⅰ ; ⅱ . [1] P158 E4 例6 设函数可微. 在极坐标变