《微积分》教案1.docVIP

第一章 函 数 一、预备知识 （一）集合 1、集合的概念： 具有某种共同属性的事物的全体叫做集合，用，，，…表示。 集合中的每个事物称为该集合的元素，用，，，…表示。 2、集合的表示法： （1）列举法：把所有元素都列举在大括号中； （2）描述法：把所有元素的共同特性描述出来。 3、集合的运算： ；在图形表示中用长方形表示。不包含任何元素的集合称为空集，记作； （2）子集：如果集合的每一个元素都是集合的元素，则称是的子集，记作或。 （3）集合相等：两个集合、，若且，则称与相等，记作。 （4）并集：属于或属于的元素组成的集合称为与的并集，记作。 （5）交集：既属于又属于的所有元素组成的集合称为与的交集，记作。 （6）差集：属于而不属于的所有元素组成的集合称为与的差集，记作。 （7）补集：若集合是全集的子集，则中不属于的元素所组成的集合称为的补集，记作。 4．数集表示：自然数集，整数集，有理数集，实数集。 例1（1）写出及的解集解：； ； （2）若，则 ， . 解： （3）区间： 有限区间：，，，， 必须； 无限区间：，，，， （4）点的邻域： 实心邻域：； 空心邻域： 2、运算技能 （1）不等式组的解是所有不等式解集的交集，的解要注意a的正负性； （2）二次不等式，（除到右边去）； ① 是负数时，根据在任何实数的平方≥0的属性分析出使不等式成立的的取值范围 ② 是非负数时，不等式两端同时开放取绝对值，化为绝对值不等式求解 例2：求解； 解：，解集是实数集R； ，不等式无解； ，解集为 ，解集为。 也可利用二次函数的图像求解： （3）简单指数不等式，，两边取自然对数求解； 例3：求解 解：取自然对数得，不等式解集为； （4）简单对数不等式 例4：求解 解： 解集 （5）复杂绝对值根式不等式要用讨论的方式去掉绝对值符号再求解。 例5：求解 解：1）时，原不等式为 2）时，原不等式为 3）时，原不等式为，无解， 原不等式解为 二、函数关系 （一）概念 定义：若是一个非空实数集合，设有一个对应规则，使每一个都有一个确定的实数与之对应，则称这个对应规则为定义在上的一个函数关系，或称变量是变量的函数，记作。 称为自变量，称为因变量。集合称为函数的定义域，也可记作。 注意： （1）定义域非空，如实数范围内就构不成函数关系。 （2）单值函数，自变量取定一个值时，与之对应的函数值只有一个（过定义域内任意一点、垂直于横轴的直线与函数图像只有一个交点）。 例如一旦取定，对应的有两个，称为多值函数，把和称为多值函数的两个单值支。 不作特别说明，今后提到的函数都是单值函数。 （二）表示法 1、公式法：优点是简单明确，便于理论分析，但不够直观。且在实际问题中很多函数关系不能用解析式表达。 2、表格法：优点是查可以直接由表中自变量的值查出对应的函数值，如数学用表，但表中所列的值是有限的、不便于作理论分析。 3、图像法：优点鲜明直观，但不便于作理论分析。 以上三种方法各有优劣，在今后学习中可交替使用。 （三）运算技能 1、确定函数的定义域 实际问题（略）；一般函数，定义域就是使函数值存在的自变量取值范围 ① 若，则； ② 若，则； ③ 若，则； ④ 若或，则； ⑤ 分段函数的定义域是各个部分自变量取值的并集； ⑥ 由几项代数和构成的函数，其定义域是各项定义域的公共部分； ⑦ 若的定义域是，则的定义域由解出。 例1：填空： （1）的定义域是 ； 由 → 解得函数的定义域为 （2）的定义域是 ； 由可以求出函数的定义域是（用弧度表示的一、四象限的角，）无穷多个区间， （3）的定义域是 ； ，函数的定义域是 例2：的定义域是，则（ ） （A） （B） （C） （D） 按已知条件，必须在内有意义且，与分别在，0点无意义；在内非正；选（A） 例3：，求的定义域 解：， 定义域是 或：的定义域是，由解出的定义域是。 2、判断两个函数相同 确定函数的主要因素是定义域与对应规律，两个函数只有在定义域与对应规律都相同时，才表示同一个函数。有时也可以通过值域观察。 例4：判定下列函数是否相同 （1），； （2），； （3），； （4），； 解：（1）定义域不同，两个不函数不相等； （2）定义域都是R，根据绝对值概念，对应规律也相同，所以相等； （3）对应规律就不同，所以不相等。 （4）值域不同，不相等 练习：判断下列函数是否相等 （1）与； （2）与；相等。 （3）与；不相等（定义域不相同） 解：（1）定义域相同，对应规律也相同，相等。 （2）定义域相同，对应规律也相同，相等。 （3）定义域不相同，不相等 3、