《线性代数》证明题.ppt

《线性代数》证明题 张小向 东南大学数学系 E-mail:z990303@ 版本:2007.12.10 二. 我们为什么觉得证明题难 不清楚题目所涉及的概念 不熟悉现存的有关结论 分不清条件的必要性与充分性 不善于组织语言 没有积累足够的经验 没有深入思考 三. 证明题的难度分类 1. 直接用定义、定理、性质、推论、公式 三. 证明题的难度分类 直接用定义、定理、性质、推论、公式 从结论往回推一步 三. 证明题的难度分类 直接用定义、定理、性质、推论、公式 从条件往下推一步+从结论往回推一步 要走好几步而且有分岔, 可能要讨论, 归纳 例12. 设A是n阶方阵, n?2, 求证|A*| = |A|n?1. 证明: 分两种情况讨论: (2) 当|A| ? 0时, 令|A| = a, 于是a|A*| = |A||A*| 由此可得|A*| = an?1 = |A|n?1. 则AA* = |A|I = aI, = |aI| = an. = |AA*| 例13. 设A是奇数阶方阵, 且ATA = I, |A| 0, 证明: 设A是n阶方阵(n为奇数), 则 求证I ? A不可逆. = |(AT ? I)A| = |AT ? I|?|A| = |(A ? I)T|?|A| = |A ? I|?|A| |I ? A| = |ATA ? IA| = |?(I ? A) |?|A| = (?1)n|I ? A|?|A| = ?|I ? A|?|A|, 移项得(1+|A|)|I ? A| = 0. 又因为|A| 0, 因而|I ? A| = 0. 故1+|A|1, 所以I ? A不可逆. 可换成 |A| ? ?1 例14. 设A = I ? eeT, I是n阶单位阵, e是n维非零 分析: (1) 设e = 列向量. 求证: (1) A2 = A ? eTe = 1; (2) 当eTe = 1时, A不可逆. a1 a2 an … ? ?, 则eT = (a1, a2, …, an), eeT = a1 a2 an … (a1, a2, …, an) … … … … = ? O, a12 a1a2 … a1an a2a1 a22 … a2an ana1 ana2 … an2 eTe = (a1, a2, …, an) a1 a2 an … = a12 + a22 + … + an2. 例14. 设A = I ? eeT, I是n阶单位阵, e是n维非零 因为A = I ? eeT, 列向量. 求证: (1) A2 = A ? eTe = 1; (2) 当eTe = 1时, A不可逆. A2 = (I?eeT)(I?eeT) = I? eeT ?eeT + eeTeeT = I? 2eeT + e(eTe)eT 所以 = I + (eTe ?2)eeT, 故A2 = A ? I + (eTe ?2)eeT = I ? eeT ? eTe = 1. ? (eTe ?1)eeT = O ? eTe ?1 = 0 证明: (1) 由e是n维非零列向量可知eeT是n阶 非零矩阵, eTe是1阶方阵(也就是一个数). 例14. 设A = I ? eeT, I是n阶单位阵, e是n维非零 则由A2 = A可知A = I, 列向量. 求证: (1) A2 = A ? eTe = 1; (2) 当eTe = 1时, A不可逆. 进而得e = eeTe = Oe = ?. 因而eeT = O, 于是eTe = 0, 但这与eTe = 1矛盾! 此矛盾表明A不可逆. 证明: (2)当eTe = 1时, 由(1)可知A2 = A, 假若A可逆, eeT = … … … … ? O矛盾! a12 a1a2 … a1an a2a1 a22 … a2an ana1 ana2 … an2 注: 也可以根据前面的分析得到eeT = O与 例15. 证明两个上三角矩阵的乘积是上三角矩阵. 证明: 设A = (aij)n?n和B = (bij)n?n都是上三角矩阵, 即i j时, aij和bij都为零. a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44 b11 b12 b13 b14 b21 b22 b23 b24