3.2数学题的拟造.docVIP

第二节 数学题的拟造 　　(推理)过程，及由此得到的结论这三个要素组成完整数学意义的陈述。隐去或部分隐去真实、确定的完整数学意义陈述的构成要素，要求应答者构造 　　完整数学意义的陈述。这种构造过程就是拟造数学题。拟题的方法有以下几种。 　　一、改编陈题 　　习惯上把数学教科书中的例题、习题和其他各类书刊上已有的题目等称为陈题。根据陈题拟造新题，所得的新题源于陈题，又有新意，对作答者要求的针对性较强。它是拟造新题的一种常用方法。 　　1 　　(1) 　　1 已知数列｛an｝满足 　　　　　 　　c≠0，且c≠1，证明这个数列的通项公式是 　　 　　((下册)) 　　10项，可拟造如下的题目： 　　an｝满足 　　　　　 　　c≠0，且c≠1，求a10。 　　(2) 　　2 如图3－1，⊙O1和⊙O2外切于点A，BC是⊙O1和⊙O2的公切线，B、C是切点，求证AB⊥AC。(选自初级中学课本《几何》(第二册)) 　　AB⊥AC作为进行下一步推理的条件，可拟造如下的题目： 　　3－1，⊙O1和⊙O2外切于点A，BC是⊙O1和⊙O2的公切线，B、C是切点，求证：以BC为直径的圆必与线段O1O2相切于点A。 　　(3) 　　3 求证： 　　将等式的右边作等价变换，可拟造如下的题目： 　　求证： 　　2 　　(1)　　4 设(x－3)2＋(y－1)2＝0(x，y为实数)，求x、y。(选自初级中学课本《代数》(第四册)) 　　等价变换本题条件的表述形式，可拟造如下的题目： 　　x2－6x＋y2－2y＋10＝0(x，y为实数)，求x、y。 　　(2) 　　5 已知数列｛an｝，其中an＝cosnα(0＜α＜π)，求 　　a1a2＋a3－a4＋…＋(－1)k+1ak＋…－a2n＋a2n+1。 　　an＝cosnα可得an＝2an-1cosα－an-2，但反之不然。为了能由an＝2an-1cosα－an-2，得出an＝cosnα，显然还需附加规定a1＝cosα，a2＝cos2α。这样可拟造如下的题目： 　　an｝，其中a1＝cosα，a2＝cos2α， an＝2an-1·cosα－an-2(n≥3，0＜α＜π)， 　　a1－a2＋a3－a4＋…＋(－1)k+1ak＋…－a2n＋a2n+1。 　　(3) 　　6 如图3－2，已知点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN均是等边三角形，求证：AN＝BM。(选自初级中学课本《几何》(第一册)) 　　C点被限制在AB上。一般地，若C是任意一点，也有同样的结论，这样可拟造如下的题目： 　　3－3，已知点C是任意一点，△ACM与△BCN均是等边三角形，求证：AN＝BM。 　　(4) 　　7 已知P为定角∠XAY的平分线上的定点，过P、A两点任作一圆与AX交于点B，与AY交于点C，求证AB＋AC为定值。 　　 　　过P、A两点任作一圆与AX交于点B，与AY交于点C，求证AB＋AC为定值。 　　3 　　(1)　　(新题的正确性用另外途径加以证明)。 　　8 证明圆内接n(n≥3)边形中的面积最大者为正n边形。若已知圆的半径为R，求出这个最大面积。 　　 　　x′2＋b2y′2＝R2，进一步可得 　　(拉伸)为椭圆，从而圆与椭圆可进行类比。对于椭圆，可拟造类似的题目： 　　 　　(2) 　　9 已知a，b∈R＋，a≠b，求证a4＋b4＞a3b＋ab3。(选自高级中学课本《代数》(下册)) 　　分别将条件和不等式左、右两边各项同时一般化，有： 　　ai∈R＋(i＝1，2，…，n)，n，m，p，q均为自然数，且p＋q＝m，求证： 　　 　　a1＝a2＝…＝an时等号成立。 　　(3) 　　10 如图 3－4，AB和平面α所成的角是θ1，AC在平面α内AC和AB的射影AB′成角θ2，设∠BAC＝θ。 　　求证：　cos1·cosθ2＝cosθ。 　　((乙种本)) 　　60°，则可将该题的部分条件和结论特殊化，并拟造出如下的题目： 　　3－4，AB和平面α所成的角是θ1，AC在平面α内，AC和AB的射影AB′成角θ2，若∠BAC＝60°，求证： 2cosθ1cosθ2－1＝0。 　　(4) 　　将陈题中的条件与结论全部交换，或将部分条件与部分结论交换，拟造新题。 　　11 如果f(x)＝ex，求证f(x)f(y)＝f(x＋y)。(选自高级中学课本《代数》(上册)) 　　将该题的部分条件和结论互换，可拟造如下的题目： 　　f(x)不是常数函数且满足f(x)f(y)＝f(x＋y)，求证f(n)＝［f(1)］n(n∈N)。 　　(5) 　　有些陈题本身是重要的命题，利用它可以拟造新题。 　　12 如果两条曲线的方程是f1(x，y)＝0，f2(x，y)＝0，它们的交点是P(x0，y0)，证明方程f1(x，y)＋λf2(x，y)＝