3.3 定积分.ppt

方法与技巧 1.求定积分的方法 （1）利用定义求定积分（定义法），可操作性不强. （2）利用微积分基本定理求定积分步骤如下： ①求被积函数f（x）的一个原函数F（x）； ②计算F（b）-F（a）. （3）利用定积分的几何意义求定积分 当曲边梯形面积易求时，可通过求曲边梯形的面积求定积分. 如：定积分 dx的几何意义是求单位圆面积的 ，所以 思想方法 感悟提高 2.求曲边多边形的面积 其步骤为： （1）画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的 大致图象. （2）借助图形确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上限、下限. （3）将曲边梯形的面积表示为若干定积分之和. （4）计算定积分. 失误与防范 1.被积函数若含有绝对值号，应去绝对值号，再分段积分. 2.若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量. 3.定积分式子中隐含的条件是积分上限不小于积分下限. 4.定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意:面积非负，而定积分的结果可以为负. 5.将要求面积的图形进行科学而准确的划分，可使面积的求解变得简捷. 一、选择题 （sin x+cos x）dx的值是 （ ） A.0 B. C.2 D.4 C 解析 定时检测 * §3.3 定积分 要点梳理 1.用化归法计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积的具体步骤为 、 、 、 . 分割 近似代替 求和 取极限 基础知识 自主学习 2.定积分的定义 如果函数f(x)在区间［a,b］上连续，用分点将区间［a,b］等分成n个小区间，在每个小区间上任取 一点ξi(i=1,2,…,n)，作和式 .当n→∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间［a,b］上的定积分,记作 , 即 = ,其中f(x)称为 , x称为 ,f(x)dx称为 ， ［a,b］为 ，a为 ，b为 ，“”称为积分号. 被积函数 积分变量 被积式 积分区间 积分下限 积分上限 3. 的实质 （1）当f(x)在区间［a,b］上大于0时， 表示 由 ，这也是定积分的几何意义. （2）当f(x)在区间［a,b］上小于0时， 表示 . (3)当f(x)在区间［a,b］上有正有负时， 表 示介于x=a，x=b (a≠b)之间x轴之上、下相应的曲 边梯形的面积的代数和. 直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成 的曲边梯形的面积 由直线x=a，x=b (a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的 曲边梯形的面积的相反数 4.定积分的运算性质 (1) = . (2) = . (3) = . 5.微积分基本定理 一般地，如果f（x）是区间［a，b］上的连续函数，并且F′(x)=f(x),那么 . 这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿——莱布尼兹公式.可以把F（b）-F（a）记为F(x) .即 (a ＜ c＜ b) 6.利用牛顿——莱布尼兹公式求定积分的关键是 ，可将基本初等函数的导数公式逆向使用. 7.定积分的简单应用 （1）求曲边梯形的面积 （2）匀变速运动的路程公式 做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v=v(t) (v(t)≥0)在时间区间［a,b］上的定积分，即s= . 求被 积函数的原函数 (3)变力作功公式 一物体在变力F（x）（单位：N）的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向从x=a移动到x=b (a＜b)（单位：m),则力F所作的功为W= . 基础自测 1. sin xdx等于 （ ） A.0 B.2π C.π D.2 解析 =-cosπ-(-cos 0)=1+1=2. D x2(x≥0) 2x(x＜0)，则 f(x)dx的值