3.3 定积分0.ppt

* §3.3 定积分 要点梳理 1.用化归法计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积的具体步骤为 、 、 、 . 分割 近似代替 求和 取极限 基础知识 自主学习 2.定积分的定义 (1)定积分的定义和相关概念 ①如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0x1…xi－1xi…xn＝b将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点ξi(i＝1,2， …，n)， 作和式 ， 当n→∞时，上述和式无限接近 ，这个 叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定 某个常数 常数 积分，记作 ，即＝ ． a与b [a，b] 函数f(x) x 3. 的实质 （1）当f(x)在区间［a,b］上大于0时， 表示 ，这也是定积分的几何意义. （2）当f(x)在区间［a,b］上小于0时， 表 示 . (3)当f(x)在区间［a,b］上有正有负时， 表 示介于x=a，x=b (a≠b)之间x轴之上、下相应的曲边梯形的面积的代数和. 由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成 的曲边梯形的面积 由直线x=a，x=b (a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成 的曲边梯形的面积的相反数 4.定积分的运算性质 (1) = . (2) = . (3) = . 5.微积分基本定理 一般地，如果f（x）是区间［a，b］上的连续函数，并且F′(x)=f(x),那么 . 这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿——莱布尼兹公式.可以把F（b）-F（a）记为F(x) .即 (a ＜ c＜ b) 6.利用牛顿——莱布尼兹公式求定积分的关键是 ，可将基本初等函数的导数公式逆向使用. 7.定积分的简单应用 （1）求曲边梯形的面积 （2）匀变速运动的路程公式 做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v=v(t) (v(t)≥0)在时间区间［a,b］上的定积分，即s= . 求被 积函数的原函数 (3)变力作功公式 一物体在变力F（x）（单位：N）的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向从x=a移动到x=b (a＜b)（单位：m),则力F所作的功为W= . 基础自测 1. sin xdx等于 （ ） A.0 B.2π C.π D.2 解析 =-cosπ-(-cos 0)=1+1=2. D x2(x≥0) 2x(x＜0)，则 f(x)dx的值是 （ ） A. x2dx B. 2xdx C.x2dx+ 2xdx D. 2xdx+ x2dx 解析 由分段函数的定义及积分运算的性质知： D 2.设f(x)= 3.如图所示，函数y=-x2+2x+1与y=1相交形成一个闭合图形（图中的阴影部分），则该闭合图形的面积是 （ ） A.1 B. C. D.2 y=-x2+2x+1 y=1， ∴S= （-x2+2x+1-1）dx= （-x2+2x）dx B 由 解析 得x1=0,x2=2. 4.曲线y=cos x（0≤x≤ )与坐标轴所围成的面积是 （ ） A.2 B.3 C. D.4 解析 如图所示，  B 5.有一质量非均匀分布的细棒，已知其线密度为（x）=x3（取细棒的一端为原点，所在直线为x轴）,棒长为1,则棒的质量M为 （ ） A.1 B. C. D. 解析 D 题型一 利用微积分基本定理求定积分 【例1】(1)(x2+2x+1) dx;(2) (sin x-cos x) dx; (3)（x-