3_4 单调性和极值.ppt

3.4.1 函数单调性的判定法 例1 确定函数 注 例2 证明 3.4.2 函数的极值及其求法 注 定理 3.4.2 (第一充分条件) 例3求函数 定理3.4.3(第二充分条件) 例4 求函数 3.4.3 最大值与最小值问题 例8 求函数 例9 把一根直径为 d 的圆木锯成矩形梁 , 小结 3. 连续函数的最值 2. 设 3. 设 作业 3.4.1 函数单调性的判定法 3.4.2 函数的极值及其求法 3.4 函数的单调性和极值 3.4.3 最大值与最小值问题 如图所示 单调递增 曲线上各点处的切线斜率是非负的 单调递减 曲线上各点处的切线斜率是非正的 若 设函数 则 在I内单调递增 (递减) . 证明 无妨设 任取 由拉格朗日中值定理得 故 这说明 在 I 内单调递增. 在开区间I内可导, 证毕 定理 3.4.1 的单调区间. 解 令 得 故 的单调增区间为 的单调减区间为 (1)单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点. 例如, (2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 . 例如, 讨论函数的单调性可按下列步骤进行: (1) 确定连续函数 的定义域 ; (2) 求出 (3) 判断 在每个区间内的符号,就可以确定 出函数 的单调区间. 时,成立不等式 证明 令 则 由于 得证! 定义3.4.1 在其中当 时, (1) 则称 为 的极大点 , 称 为函数的极大值 ; (2) 则称 为 的极小点 , 称 为函数的极小值 . 极大点与极小点统称为极值点 . 为极大点 为极小点 不是极值点 2) 对常见函数,极值可能出现在导数为 0 或不存在的点. 1) 函数的极值是函数的局部性质. 例如 (例1) 为极大点 , 是极大值 是极小值 为极小点 , 且在空心邻域 内有导数． (1)如果 处取得极大值。 (2)如果 处取得极小值。 (3)如果 处没有极值。 求极值的步骤: 的极值 . 解 1) 求导数 2) 求极值可疑点 令 得 令 得 3) 列表判别 是极大点， 其极大值为 是极小点， 其极小值为 二阶导数,且 则 在点 取极大值 ; 则 在点 取极小值 . 证: (1) 存在 由第一判别法知 (2) 类似可证 . 的极值 . 解 1) 求导数 2) 求驻点 令 得驻点 3) 判别 因 故 为极小值 ; 又 故需用第一判别法判别. 试问 为何值时, 在 时取得极值 , 还是极小. 解 由题意应有 又 取得极大值为 例5 求出该极值, 并指出它是极大 例6 (隐函数的极值)设 ,求由方程 所确定的函数 在 内的极值点. 解 ( 1 ) (2) (3) 例7 (参数方程所表示的函数的极值)求由参数方程 解 由于 又因为 所以 则其最值只能 在极值点或端点处达到 . 求函数最值的方法: (1)求 在 内的极值可疑点(各驻点或不可导点) (2) 最大值 最小值 情形1: 在闭区间 上的最大值和最小值 . 解 显然 且 故函数在 取最小值 0; 在 及 取最大值 5. 当 在区间内可导只有一个极值驻点时, 若在此点取极大 值,则也是最大 值 . (小) 在应用问题 往往会遇到这种情形. (小) 情形2: 问矩形截面 的高 h 和 b 应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大? 解 由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为 令 得 从而有 即 由实际意义可知 , 所求最值存在 , 驻点只一个, 故所求 结果就是最好的选择 . 这时如果函数 在区间内部只有一个 在应用问题中,往往根据问题的性质就可以 情形3: 判断 内部取得, 确有最大值或最小值,而且一定在定义区间 驻点 就可以判定 是最大值或最小值. 解 例10 2. 连续函数的极值 (1) 极值可疑点 : 使导数为0 或不存在的点 (2) 第一充分条件 过 由正变负 为极大值 过 由负变正 为极小值 在I 上单调递增 在I 上单调递减 1. 可导函数单调性判别 (3) 第二充分条件 为极大值 为极小值 最值点应在极值点和边界点上找 ; 应用题可根据问题的实际意义判别 . 1. 设 则在点 a 处( ). 的导数存在 , 取得极大值 ; 取得极小值; 的导数不存在. B 提示: 利用极限的保号性 . 思考 在 的某邻域内连续, 且 处 则在点 (A) 不可导 ; (B) 可导, 且 (C) 取得极大值 ; (D) 取得极小值 . D 提示: 利用极限的保号性 . 是方程 的一个解, 若 且 则 在 (A) 取得极大