【数学】3.1.4《概率的加法公式》课件(新人教B版必修3).ppt

3.1.4 概率的加法公式 * 一、互斥事件、事件的并、对立事件 1．互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件（或称为互不相容事件）; 2．事件的并：由事件A和B至少有一个发生（即A发生，或B发生，或A、B都发生）所构成的事件C，称为事件A与B的并（或和）。记作C=A∪B（或C=A+B）。 事件A∪B是由事件A或B所包含的基本事件所组成的集合。 3．对立事件：不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件。 事件A的对立事件记作. 例1. 抛掷一颗骰子，观察掷出的点数. 设事件A为“出现奇数点”，B为“出现2点”. 已知P(A)= ，P(B)= ，求“出现奇数点或2点”的概率。 这里的事件A和事件B不可能同时发生，这种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件 设事件C为““出现奇数点”或2点”，它也是一个随机事件。 事件C与事件A、B的关系是：若事件A和事件B中至少有一个发生，则C发生；若C发生，则A，B中至少有一个发生，我们称事件C为A与B的并(或和) 设事件C为““出现奇数点”或2点”，它也是一个随机事件。 事件C与事件A、B的关系是：若事件A和事件B中至少有一个发生，则C发生；若C发生，则A，B中至少有一个发生，我们称事件C为A与B的并(或和) 如图中阴影部分所表示的就是A∪B. 例2.判断下列各对事件是否是互斥事件，并说明理由。 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中 （1）恰有1名男生和恰有2名男生； （2）至少有1名男生和至少有1名女生； （3）至少有1名男生和全是男生； （4）至少有1名男生和全是女生。 解：（1）是互斥事件； （2）不可能是互斥事件； （3）不可能是互斥事件； （4）是互斥事件； 例3.判断下列给出的每对事件，（1）是否为互斥事件，（2）是否为对立事件，并说明理由。 从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1~10各4张）中，任取1张： （1）“抽出红桃”与“抽出黑桃”； （2）“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”； （3）“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”。 解：（1）是互斥事件，不是对立事件； （2）既是互斥事件，又是对立事件； （3）不是互斥事件，当然不可能是对立事件； 所以对立事件一定是互斥事件，而互斥事件不一定是对立事件。 假定事件A与B互斥，则 P(A∪B)=P(A)+P(B)。 二、互斥事件的概率加法公式 证明：假定A、B为互斥事件，在n次试验中，事件A出现的频数为n1，事件B出现的频数为n2，则事件A∪B出现的频数正好是n1+n2，所以事件A∪B的频率为 如果用μn(A)表示在n次试验中事件A出现的频率，则有μn(A∪B)=μn(A)+μn(B). 由概率的统计定义可知， P(A∪B)=P(A)+P(B)。 一般地，如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2) +…+P(An)，即彼此互斥事件和的概率等于概率的和. 在求某些较为复杂事件的概率时，先将它分解为一些较为简单的、并且概率已知（或较容易求出）的彼此互斥的事件，然后利用概率的加法公式求出概率. 因此互斥事件的概率加法公式具有“化整为零、化难为易”的功效，但需要注意的是使用该公式时必须检验是否满足它的前提条件“彼此互斥”. 例1中事件C：“出现奇数点或2点”的概率是事件A：“出现奇数点”的概率与事件B：“出现2点”的概率之和，即 P(C)=P(A)+P(B)= 例4. 在数学考试中，小明的成绩在90分以上的概率是0.18，在80~89分的概率是0.51,在70~79分的概率是0.15，在60~69分的概率是0.09，计算小明在数学考试中取得80分以上成绩的概率和小明考试及格的概率. 解： 分别记小明的成绩在90分以上，在80~89分，在70~79分，在60~69分为事件B，C，D，E，这四个事件是彼此互斥的. 根据概率的加法公式，小明的考试成绩在80分以上的概率是 P(B∪C)=P(B)+P(C)=0.18+0.51=0.69. 小明考试及格的概率为 P(B∪C∪D∪E)=P(B)+P(C)+ P(D)+P(E) = 0.18+0.51+0.15+0.09=0.93. 对立事件的概率 若事件A的对立事件为A，则 P(A)=1－P(A). 证明：事件A与A是互斥事件，所以P(A∪A)=P(A)+P(A)，又A∪A=Ω， 而由必然事件得到P(Ω)=1, 故P(A)=1－P(A). 在上面的例题中，若令A=“小明考试及格”,