4-1函数的单调性与极值.ppt

分析 证 (方法1) 分析 (方法2) 解 是极大值点， 其极大值为 是极小值点， 其极小值为 (极大) (极小) 解 解 解 代入原方程, 的极值 . 解 1° 求导数 2° 求驻点 令 得驻点 3° 判别 因 故 为极小值 ; 又 故需用第一判别法判别. 综上所述， 2° 区间端点一定不是极值点. 若 f (x)在 x0 处取得极值，且 在 x0 处可导，则必有 定理3.2(必要条件) 例如， 驻点 注 1° 2° 可导函数的极值点 若 则称 x0 为 f (x)的驻点. x y O 驻点 3° 极值点 如何判定极值可疑点是否是函数的极值点 ？ 极值可疑点：驻点、 导数不存在(但函数有定义) 的点. 问题： 对 设函数 在 内连续， (1) 若当 时， 当 时， 则 f ( x )在 处取得极大值； (3) 若 的符号保持不变， (2) 若当 时， 当 时， 则 f ( x )在 处取得极小值； 则 f (x)在 处没有 极值. 是极小值点， 其极小值为 是极大值点， 其极大值为 解 + - + + 充分条件， 极值的判定法1 (定理3.3)是 不是必要的. 则 在点 处取得极大值 ; 则 在点 处取得极小值 . 二阶导数 , 且 记忆方法： 在x=0 处取得极小值 分析 解 = 0 例如， x y O 极值第一判定法或极值定义等其他方法，判定 x0 是否为极值点. 2o 极值的判别法2 (定理4.4 ) 也是充分条件， 不是必要的. x y O 解 若函数 f ( x )在闭区间[a , b]上连续， 则 f ( x )在[a , b]上必定存在着最大值和最小值； 最大（最小）值可能在开区间(a , b)内取得， 最大（最小）值可能在端点处取得; 除有限 个点外可导， 且至多在有限个点处导数为零， 此时最大（最小）值必是 f ( x ) 的一个极大 （极小）值， 而且相应的点必是 f ( x ) 的驻点 或不可导点； 因此，求函数 f ( x ) 在[a , b]上最值的步骤如下： (1) 求f ( x )在（a , b）内的全部驻点和不可导点; (2) 计算区间端点及驻点和不可导点的函数值； (3) 比较这些函数值的大小， 特别地， 若f ( x )在[a , b]上是单调函数， 值和最小值分别在区间[a , b]的两个端点处取得. 最大者即为f ( x ) 在 [a , b]上的最大值. 最小者 最小值. 那么最大 1. 可导函数单调性判别 在 I 上严格单调递增 在 I 上严格单调递减 2. 连续函数的极值 (1) 极值可疑点 : 使导数为0 或不存在的点 (2) 第一充分条件 过 由正变负 为极大值 过 由负变正 为极小值 (3) 第二充分条件 为极大值 为极小值 ？ 解 反例： 事实上, 事实上, 但 因此,在x=0 的任何邻域 单调增加, 则 若不然, 假设 f(x) ≥ 0 () () ≥ 0 解 在 的某邻域内连续, 且 则在点 处 (A) 不可导 ; (B) 可导, 且 (C) 取得极大值 ; (D) 取得极小值 . D 提示: 利用极限的保号性 . 的单调性. 解 当 x = 0 时, 导数不存在， 且当 故 的单调增区间为 单调减区间为 可见, 讨论 的单调性区间时， 应以 不存在的点来划分定义区间. 为零及 解 且 讨论函数 的单调性. 解 令 得 故 的单调增区间为 的单调减区间为 驻点 证 证 证 则 则 函数的单调性与极植 二、函数的极值及其求法 第3章 一、函数单调性的判定法 函数的单调性与导数的符号有关 (1) 若对于任意的 则 f (x) 在[a , b]上单调增加; 在闭区间 [a , b] 上连续， 在开区间 (a , b) 内可导， 设 (2) 若对于任意的 则 f (x) 在[a , b]上单调减少. (1) 任取 根据拉格朗日中值定理，得 故 因此 在 [a , b] 上单调增加. 解 例1 () (减少) 例如， ① ② () (减少) 事实上，定理4.1可推广为： 定理3.1? 例2 解 讨论 f (x) 单调性的步骤： 的单调区间 . 解 1° 确定定义区间 2° 求驻点及导数不存在的点 令 得驻点： 导数不存在的点： 3° 列表判别 故 的单调增区间为 的单调减区间为 (1) 证明不等式 证 例4 从而 (1) 若 则在 (a , b)内f (x) g