4-3不定积分的概念和性质_7481_975_20101103075803.ppt

练习题 练习题答案 相当于考虑求导数运算的逆运算。 §4.3 不定积分的概念和性质 原函数与不定积分的概念 基本积分表 不定积分的性质 小结 思考题 作业 任意常数 积分号 被积函数 (1)不定积分的定义： 被积表达式 积分变量 一、不定积分的概念 例1 求 解 解 例2 求 显然，求不定积分得到一积分曲线族. 由不定积分的定义，可知 结论： 微分运算与求不定积分的运算是互逆的. * (2)不定积分的几何意义 曲线 称为f (x)的 积分曲线. 移动, 得出的无穷多条曲线, 称为f (x)的积分 y = F(x)的图形是x, y平面的一条曲线, 将曲线 y = F(x)向平行于x轴的方向任意上下 族. 4.3 不定积分的概念与性质 * 由于不论常数C 取何值, 同一x处其导数等于f (x), 各切线相互平行. 有积分曲线族 即 x 4.3 不定积分的概念与性质 例3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程. 解 设曲线方程为 根据题意知 由曲线通过点（1，2） 所求曲线方程为 (3) 积分常数的确定 * 解 例 所以 其中C为任意常数. 路程函数为 * (原函数存在定理) 连续函数一定有原函数. 则它必有原函数. (4) 原函数存在问题 哪些函数有原函数 又如何求其原函数 原函数是否必为连续函数 4.3 不定积分的概念与性质 实例 启示 能否根据求导公式得出积分公式？ 结论 既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式. 二、 基本积分表 基本积分表 ? 是常数); 说明： 例4 求积分 解 根据积分公式（2） 证 等式成立. （此性质可推广到有限多个函数之和的情况） 三、 不定积分的性质 例5 求积分 解 例6 求积分 解 评注：有理分式尽量化为部分分式来积分！ 例7 求积分 解 例8 求积分 解 说明： 以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表. 评注：三角函数的有理式尽量先将分母化为一项来积分！ 解 所求曲线方程为 解 例10 应先将绝对值符号化掉, 即将| x |化作分段函数: 解 由于分段函数连续，所以原函数存在。 例11 因此在x = 0处必连续, 由于原函数可导, 所以原函数必定连续, 于是有 例12 符号函数 在 内是否存在原函数？为什么？ 分析： 假设有原函数 故假设错误 所以 在 内不存在原函数. 结论 每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数. *基本积分表(1)熟记 不定积分的性质 原函数的概念： 不定积分的概念： 四、 小结 不定积分的几何意义 思考：以下两个性质都是求导线性运算的逆运算， 那么求导的乘法和除法法则对应的逆运算法则？ 复合求导法则有没有对应的逆运算法则？ 如果，那么 在区间内， 函数的带有任意 常数项的原函数 称为在区间内的 不定积分，记为. 函数的原函数的图形称为的积分曲线. 即是的一个原函数. （是常数， 例9 已知一曲线在点处的切线斜率为，且此曲线与 轴的交点为，求此曲线的方程. 但在处不可微， （是常数， 填空题： 一个已知的函数，有______个原函数，其中任意两个的差是一个______； 的________称为的不定积分； 把的一个原函数的图形叫做函数的________，它的方程是，这样不定积 在几何上就表示________，它的方程是 ； 由可知，在积分曲线族 上横坐标相同的点处作切线，这些切线彼此是______的； 若在某区间上______，则在该区间上的 原函数一定存在； ______________________； _______________________； _________________； _____________； =____________________ . 求下列不定积分： 1、 2、 3、 4、 5、 6、 三、一曲线通过点，且在任一点处的切线的斜 率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程 . 四、证明函数的原函数 . 一、1、无穷多,常数； 2、全体原函数； 3、积分曲线,积分曲线族； 4、平行； 5、连续； 6、； 7、 8、； 9、、 10、. 二、1、 ； 2、； 3、； ； 5、； 6、. 三、.