1、多元函数概念.ppt

1. 多元函数概念 二元函数的极限与连续 2. 偏导数 高阶偏导数 3. 全微分 4. 多元函数的微分法 5. 多元函数微分法在几何上的应用 6. 极值 基本要求 1、理解多元函数的概念，了解二元函数的极限、连续性等概念及有界闭域上连续函数的性质； 2、理解偏导数、高阶偏导数和全微分的概念，了解偏导数的几何意义、全微分 存在的充分和必要条件和高阶混合偏导数与求导次序无关的条件； 3、掌握多元复合函数的求导法则，会求隐函数（包含由方程组确定的隐函数）的偏导数； 基本要求（续） 4、熟悉空间曲线的切线方程、法平面方程的求法，熟悉曲面的切平面方程和法线方程的求法； 5、理解多元函数的极值和条件极值的概念，会求多元函数极值、最值，熟悉条件极值与拉格朗日乘数法； 二、二元函数的极限和连续 * 第八章 多元函数及其微分法 前面讨论的函数均是只有一个自变 量的一元函数.但很多实际问题往往要牵 涉到多个方面的因素，这就是多元函数. 本章首先介绍了多元函数的基本概念，然后重点讨论二元函数的微分法，最后介绍多元函数微分法的应用.有关结论可类推到三元及n元函数. 主 要 内 容 （1）n维空间 ? n维空间的记号为 说明： 第一节 多元函数概念 二元函数的极限与连续 一、多元函数概念 特殊地当 时，便为数轴、平面、空间两点间的距离． 设两点为 定义1 ? n维空间中两点间距离公式 （2）二元函数的定义 类似地可定义三元及三元以上函数． 定义2 例1 求函数 解 :要使函数有意义, -1 1 y x 的定义域 定义域为有界开区域（如图） 必须满足： 即 例2、求 解： 所求定义域为 的定义域． （3） 二元函数 （如下页图） 的图形 二元函数的图形通常是一张曲面. 例如, 图形如右图. 例如, 左图球面. 单值分支: （4）邻域 （5）区域 例如， 即为开集． 连通的开集称为区域或开区域． 例如， 例如， 有界闭区域； 无界开区域． 例如， 说明： （1）定义中 的方式是任意的； （2）二元函数的极限也叫二重极限 （3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似． 例3 求证 证： 当 时， 原结论成立． 例4 求极限 解 其中 例5 证明 证： 取 其值随k的不同而变化， 故极限不存在． 不存在． 不存在. 观察 确定极限不存在的方法： 定义3 例5 讨论函数 在(0,0)处的连续性． 解 取 故函数在(0,0)处连续. 当 时 例6 讨论函数 在(0,0)的连续性． 解 取 其值随k的不同而变化， 极限不存在． 故函数在(0,0)处不连续． 闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次． 在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次． （1）最大值和最小值定理 （2）介值定理