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2006年江苏省初中数学奥林匹克夏令营
逐步调整法
镇江市教育局教研室 黄厚忠
1.在正方形ABCD内找一点P,使P到四个顶点的距离之和最小。
2.设,,则
其中,,…,是1,2,…,的一个排列。
3.在线段AB上关于它的中点M对称地放置有个点,任意将这个点中的个染成红色,另外个染成蓝色。证明:所有红点到的距离之和等于所有蓝点到的距离之和。
4.已知,,…,是个正数,满足,
求证:
5.在已知锐角内有一定圆C,试在,,上各求一点,,,使有最小值。
6.在一张长方形纸上有一些黑点,现要将这张纸沿直线折几次,折线不穿过任何黑点,然后用针插进折好的纸,使针穿过所有的黑点,而不穿过其他的点。求证:在如下的两种情况均能成功。(1)所有的黑点共线;(2)只有3个黑点。
7.若干个正整数的和为2006,求这些正整数乘积的最大值。
8.已知、、是非负实数,且,求证:
9.空间有1989个点,其中任何三点不共线,把它们分成点数各不相同的30组 ,在任何三个不同的组中各取一点为顶点作三角形,问要使这种三角形总数为最大,各组点数应为多少?
10.某电影院的座位共有排,每排座,票房共售出张电影票,由于工作疏忽,这场票中有些号是重复的,不过每位观众都可以照票上所标的排次号或座次号之一入座。求证:至少可使一名观众既坐对排次又坐对座次,而其他观众保持前述情况就座。
11.用电阻值分别为,,…,的电阻组装成一个如图所示的组件,在组装中应如何选取电阻,才能使组件总电阻最小,说明你的结论。
12.证明:平面上任意( )个点,总可以被某些不相交的圆盖住,这些圆的直径之和大于 ,且每两个圆之间的距离大于,这里
较高要求
13.若,,,求证:
14.设,,,,且,
求证:
15.设,,是三角形三边长,且,若,证明:
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