4.3.1定积分的简单应用面积.pptVIP

1．进一步理解定积分的概念和性质． 2．能应用定积分计算简单的平面曲线围成图形的面积． 1．利用定积分求平面图形的面积．(重点)． 2．准确认识平面图形的面积与定积分的关系．(易混点) 1．求由一条曲线y＝f(x)和直线x＝a，x＝b(a＜b)及x轴所围成 [思路探索] 用定积分求平面图形的面积时，注意x轴下方的平面图形计算定积分时，通过取绝对值为正． 　　(1)准确地画图，并合理分割图形； (2)被积函数与积分上、下限要对应； (3)当面积在x轴的下方时，面积是定积分的相反数． 【训练1】 求由曲线y＝sin x与x轴在区间[0,2π]上所围成的图形 的面积S. 的面积S. [思路探索] 作出直线与曲线的草图，所求图形的面积可以转化为两个曲边梯形面积的差，求出直线与曲线交点的横坐标，利用定积分求面积． 解决这类问题需结合函数图像，把所求的曲边图形面积用函数的定积分表示，关键有两点：(1)确定积分上、下限；(2)确定被积函数这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了．注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分是可正、可负或为零；而平面图形的面积总是非负的． 审题指导 解答本题可先求出曲线与直线交点的横坐标，确定积分区间，然后分段利用公式求解． 【题后反思】 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间位于上方和下方的曲线不同．求出曲线的不同的交点横坐标，将积分区间细化，分别求出相应区间曲边梯形的面积再求和，注意在每个区间上被积函数均是由上减下． 在实际求解曲边梯形的面积时要注意在x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面积取负号，而各部分面积的代数和为：x轴上方的定积分减去x轴下方的定积分． 课前探究学习 活页规范训练 课堂讲练互动 §3　定积分的简单应用 3．1　平面图形的面积 【课标要求】 【核心扫描】 自学导引 1．用定积分求平面图形的面积 2．求不分割型图形面积的一般步骤 ：如何用定积分求如图所 示阴影部分的面积？ 名师点睛 几种典型的平面图形面积的计算　 平面图形的面积S. 题型一　由单一函数曲线围成的平面图形的面积 解　如图所示，所求面积 题型二　求直线与曲线围成图形的面积　 【例2】 计算由直线y＝x＋3，曲线y＝x2－6x＋13所围图形 【训练2】 计算直线y＝2x＋3与曲线y＝x2所围图形面积． 题型三　由两条曲线和直线所围成图形面积 【训练3】 求由曲线y＝ex，y＝e－x及x＝1所围成的图形面积． 误区警示　对定积分的几何意义理解有误而致错 [错解] A，B，C. 一般地，设由曲线y＝f(x)，y＝g(x)以及直线x＝a，x＝b所围成的平面图形(如图)的面积为S，则 S＝ 提示　由直线x＝a，x＝b(a＜b)及曲线f(x)，g(x)(f(x)≥g(x)围成的平面图形的面积S＝f(x)dx－g(x)dx. (1)如图1，f(x)＞0，f(x)dx＞0，所以S＝f(x)dx. (2)如图2，f(x)＜0，f(x)dx＜0， 所以S＝＝－f(x)dx. (3)如图3当a≤x＜c时，f(x)＜0，f(x)dx＜0； 当c＜x≤b时，f(x)＞0，f(x)dx＞0， 所以S＝＋f(x)dx＝－f(x)dx＋f(x)dx. 2．由两条曲线f(x)和g(x)，直线x＝a，x＝b(a＜b)所围成 平面图形的面积S. (1)如图4，当f(x)＞g(x)＞0时，S＝[f(x)－g(x)]dx. (2)如图5，当f(x)＞0，g(x)＜0时，S＝f(x)dx＋＝[f(x)－g(x)]dx. 【例1】 求由曲线y＝sin x与直线y＝所围图形的面积． 解　法一　如图所示， . 法二　由图阴影部分可知，图形由两部分组成，这两部分关于原点对称且面积相等． 解　作出直线y＝x＋3，曲线y＝x2－6x＋13的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组得直线y＝x＋3与曲线y＝x2－6x＋13的交点坐标为(2,5)和(5,8)．因此，所求图形的面积S＝(x＋3)dx－(x2－6x＋13)dx＝(－x2＋7x－10)dx＝(－x3＋x2－10x)|＝. 解析　画出图像，如图解方程组 得A(－1,1)，B(3,9)． 故所求图形的面积为 (2x＋3－x2)dx＝(x2＋3x－x3)|＝. 【例3】 (12分)求由曲线y＝，y＝2－x，y＝－x所围 成图形的面积． 【解题流程】 →→ →→ [规范解答] 法一　画出草图，如图所示． 解方程组 及 得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)． (4分) 所以S＝[－]dx＋[(2－x)－]dx (6分) ＝(＋x)dx＋(2－x＋x)dx ＝＋ (8分) ＝＋＋ (10分) ＝＋6－×9－2＋