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4.3定积分及微积分基本原理 【考纲要求】 1、了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念. 　了解微积分基本定理的含义.和曲线所围成的图形称为曲边梯形。 2、曲边梯形的面积的求法 分割→近似代替（以直代曲）→求和→取极限 3、定积分的概念 一般地，设函数在区间上连续，用分点 将区间等分成个小区间，每个小区间长度为（），在每个小区间上任取一点，作和式： 如果无限接近于（亦即）时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分。记为：， 其中是积分号，是积分上限，是积分下限，是被积函数，是积分变量，是积分区间，是被积式。 说明：（1）定积分是一个常数，可以是正数，也可以是负数，也可以是零，即无限趋近的常数（时）记为，而不是． （2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：等分区间；②近似代替：取点；③求和：；④取极限： 4．定积分的性质 根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质： 性质1（定积分的线性性质）； 性质2（定积分的线性性质）； 性质3（定积分对积分区间的可加[来源:学。科。网Z。X。X。K]上函数连续且恒有，那么定积分表示由直线和曲线所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积。 （2）从几何上看，如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由直线和曲线所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积的相反数。 （3）从几何上看，如果在区间上函数连续，且函数的图像有一部分在轴上方，有一部分在轴下方，那么定积分表示轴上方的曲边梯形的面积减去下方的曲边梯形的面积。 （4）图中阴影部分的面积S=[来源:学科网ZXXK] [来源:Z+xx+k.Com]是区间上的连续函数，并且，那么，这个结论叫做微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼茨公式。为了方便，我们常把记成，即。 计算定积分的关键是找到满足的函数。 7、公式 （1） （2） （3） ( 4) (5)； (6) 8、 定积分的简单应用 （1）在几何中的运用 ：计算图形的面积 方法：画图→定域→分割面积 → 用定积分表示面积→计算 （2）在物理中的应用: 9、求定积分的方法 (1)数形结合利用面积求 （2）利用微积分基本原理求 【例题精讲】 例1 设f(x)＝求f(x)dx. 解：f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx ＝ (x－1)dx＋ (x2＋6)dx ＝(x2－x)|＋(x3＋6x)| ＝－(＋1)＋＋6＝. 设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x－2. (1)求y＝f(x)的表达式； (2)求y＝f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积． 解：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 则f′(x)＝2ax＋b.又f′(x)＝2x－2， 所以a＝1，b＝－2，即f(x)＝x2－2x＋c. 又方程f(x)＝0有两个相等实根， 所以Δ＝4－4c＝0，即c＝1. 故f(x)＝x2－2x＋1. (2)依题意，所求面积为 S＝(x2－2x＋1)dx＝(x3－x2＋x)|＝. [来源:学科网][来源:Z#xx#k.Com]1.已知f(x)为偶函数且f(x)dx＝8，则f(x)dx等于） A．0 B．4C．8 D．16 设f(x)＝则f(x)d于(　　) A. B. C. D．不存在．如图，函数y＝－x2＋2x＋1与y＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是(　　) A．1 B. C. D．2.一质点运动时速度与时间的关系为v(t)＝t2－t＋2，质点作直线运动，则此物体在时间内的位移为(　　) A.　　　　　B.C. D. 5．若1 N的力能使弹簧伸长1 cm，现在要使弹簧伸长10 cm，则需要花费的功为(　　) A．0.05 J B．0.5 JC．0.25 J D．1 J 若y＝(sint＋costsint)dt，则y的最大值是(　　) A．1　 B．2C．－ D．0．已知函数y＝x2与y＝kx(k＞0)的图象所围成的阴影部分(如图所示)的面积为，则k＝________. [来源:Z.xx.k.Com] ．如图，设点P从原点沿曲线y＝x2向点A(2,4)移动，记直线OP、曲线y＝x2及直线x＝2所围成的面积分别记为S1，S2，若S1＝S2，则点P的坐标为________． 9．一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，则该汽车在这一分钟内行驶的路程为______米．10.若f(x)是一次函数，且f(x)dx＝5，xf(