004-大学普物讲座之四——不定积分与定积分.docVIP

大学普物讲座之四——不定积分和定积分 作者：Michaelexe 原函数的定义 对任一x∈I，若，则称F(x)是f(x)在区间I内的一个原函数。 不定积分的定义 在I内函数f(x)的带有任意常数项的原函数成为f(x)在I内的不定积分。 不定积分的性质 下面给出基本积分公式（推导过程请参阅高等数学课本） （双曲正弦、双曲余弦的定义，请参阅高等数学课本） 换元积分法 1.第一类换元积分法：设f(u)具有原函数，可导，则有换元公式： 2.第二类换元积分法：设是单调、可导的函数，且，又设具有原函数，则 分部积分法 若u、v都有连续导数，则 现在讲定积分，为了引出定积分的定义，我们还是举变速直线运动的例子。 匀速直线运动位移s=vt，计算变速直线运动的位移可以采用下列步骤： 在时间间隔内任意插入若干个分点 把分成n个小时段 各小时段时间的长度依次为 相应的，在各段时间内物体经过的位移依次为 在时间间隔上任取一个时刻时的速度来代替上各个时刻的速度，得到部分位移的近似值，即 于是这n段部分位移的近似值之和就是所求变速直线运动位移s的近似值 记，当时，取上述合式的极限，即得变速直线运动的位移 下面给出定积分的定义 设函数f(x)在上有界，在中任意插入若干分点 把区间分成n个小区间 各个小区间的长度依次为 在每个小区间上任取一点，作函数值与小区间长度的乘积，并作出和 记，如果不论对怎样划分，也不论小区间上点怎样选取，只要当时，和S总趋于确定的极限I，那么，称这个极限I为函数f(x)在区间上的定积分（简称积分），记作，即 定积分的性质 1.两条规定 2.性质 牛顿-莱布尼茨公式 ，其中F(x)是连续函数f(x)的一个原函数。 换元积分公式 设函数f(x)在上连续；函数在上具有连续导数且，其值域，则 分部积分公式