5-1不定积分的概念与性质.ppt

第五章 不定积分 §5.1 不定积分的概念与性质 §5.2 几种基本的积分法 §5.3 几种典型类型的积分举例 §5.1 不定积分的概念与性质 一、原函数与不定积分 二、基本积分表 三、不定积分的性质 四、小结 一、原函数与不定积分的概念 二、 基本积分表 三、 不定积分的性质 四、 小结 * 例 定义： 原函数存在定理： 简言之：连续函数一定有原函数. 问题： (1) 原函数是否唯一？ 例 （ 为任意常数） (2) 若不唯一它们之间有什么联系？ 关于原函数的说明： （1）若 ，则对于任意常数 ， （2）若 和 都是 的原函数， 则 （ 为任意常数） 证 （ 为任意常数） 任意常数 积分号 被积函数 不定积分的定义： 被积表达式 积分变量 例1 求 解 解 例2 求 例3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程. 解 设曲线方程为 根据题意知 由曲线通过点（1，2） 所求曲线方程为 显然，求不定积分得到一积分曲线族. 由不定积分的定义，可知 结论： 微分运算与求不定积分的运算是互逆的. 实例 启示 能否根据求导公式得出积分公式？ 结论 既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式. 基本积分表 ? 是常数); 说明： 例4 求积分 解 根据积分公式（2） 证 等式成立. （此性质可推广到有限多个函数之和的情况） 例5 求积分 解 例6 求积分 解 例7 求积分 解 例8 求积分 解 说明： 以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表. 看书：P.146:例1，例3 解 所求曲线方程为 原函数应为连续函数， 练习：P.167:1(2)(3)(4)(6)(9)(12)(13)(16),2 作业：P.167:1(1)(5)(7)(8)(10)(11)(14)(15),4 ? 基本积分表(1) 不定积分的性质 原函数的概念： 不定积分的概念： 求微分与求积分的互逆关系 但在处不可微， 如果在区间内， 是的原函数. 是在区间内的原函数. 可导函数的 即， 都有 或， 那么函数就称为 导函数为， 或在区间内原函数. 如果函数在区间内连续， 那么在区间内存在可导函数， 使，都有. 都是的原函数. 在区间内， 函数的带有任意 常数项的原函数 称为在区间内的 不定积分，记为. 即是的一个原函数. 函数的原函数的图形称为的积分曲线. （是常数， 例9 已知一曲线在点处的切线斜率为，且此曲线与轴的交点为，求此曲线的方程. 填空题： 一个已知的函数，有______个原函数，其中任意两个的差是一个______； 的________称为的不定积分； 把的一个原函数的图形叫做函数的________，它的方程是，这样不定积 在几何上就表示________，它的方程是 ； 由可知，在积分曲线族 上横坐标相同的点处作切线，这些切线彼此是______的； 若在某区间上______，则在该区间上的 原函数一定存在； ______________________； _______________________； _________________； _____________； =____________________ . 求下列不定积分： 1、 2、 3、 4、 5、 6、 三、一曲线通过点，且在任一点处的切线的斜 率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程 . 四、证明函数的原函数 . 一、1、无穷多,常数； 2、全体原函数； 3、积分曲线,积分曲线族； 4、平行； 5、连续； 6、； 7、 8、； 9、、 10、. 二、1、 ； 2、； 3、； ； 5、； 6、. 三、.