5.定积分的换元法.ppt

* 定积分的换元法 上一节我们建立了积分学两类基本问题之间的联系——微积分基本公式，利用这个公式计算定积分的关键是求出不定积分，而换元法和分部积分法是求不定积分的两种基本方法，如果能把这两种方法直接应用到定积分的计算，相信定能使得定积分的计算简化，下面我们就来建立定积分的换元积分公式和分部积分公式。 先来看一个例子 例1 换元求不定积分 令 则 故 为去掉根号 令 则 当 x 从0连续地增加到4时，t 相应地从1连续地增加到3 于是 尝试一下直接换元求定积分 将上例一般化就得到定积分的换元积分公式 由此可见，定积分也可以象不定积分一样进行换元，所不同的是不定积分换元时要回代原积分变量，而对定积分则只需将其上、下限换成新变量的上、下限即可计算出定积分，而不必回代原积分变量 一、换元公式 证 应用换元公式时应注意: （1） （2） 计算 解1 由定积分的几何意义 等于圆周的第一象限部分的面积 解2 故 o 例2 令 解4 令 仍可得到上述结果 解3 解 令 例3 计算 定积分的换元积分公式也可以反过来使用 为方便计 将换元公式的左、右两边对调 同时把 x 换成 t ， t 换成 x 这说明可用 引入新变量 但须注意如明确引入新变量，则必须换限 如没有明确引入新变量，而只是把 整体视为新变量，则不必换限 注 例4 计算 解 例5 计算 解 原式 例6 计算 解一 令 原式 解二 接解一 对 令 则 证 即： 奇函数在对称区间上的积分等于0 偶函数在对称区间上的积分等于对称的 部分区间上积分的两倍 由定积分的几何意义，这个结论也是比较明显的 例8 计算 解 原式 偶函数 奇函数 四分之一单位圆的面积 （1）设 （2）设 证 另证 将上式改写为 奇函数 例10 设 f(x) 是以L为周期的连续函数，证明 证明 与 a 的值无关 例11 设 f(x) 连续，常数 a 0 证明 证明 比较等式两边的被积函数知， 例12 设 f ( x ) 连续 解