5.定积分的性质.pptVIP

* 对定积分的补充规定: 在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小． 说明 定积分的性质 一、基本内容 证 （此性质可以推广到有限多个函数作和的情况） 性质1 性质2 证 性质1+性质2 得： 推广： 即线性组合的定积分等于定积分的线性组合 ——说明定积分也具有线性运算性质 补充：不论 的相对位置如何, 上式总成立. 例 若 则 （定积分对于积分区间具有可加性） 性质3 性质5（非负性） 证 性质4 令 于是 性质5的推论：（比较定理） （1） （2） 说明： 可积性是显然的. 解 证 （此性质可用于估计积分值的大致范围） 解 性质6（估值定理） 积分中值公式 证 由闭区间上连续函数的介值定理知 性质7（定积分中值定理） 使 即 积分中值公式的几何解释： 解 由积分中值定理知有 使 例4 设 f(x) , g(x) 在 [ a , b ] 上连续，证明 ①若在 [ a , b ] 上 则在 [ a , b ] 上 ②若在 [ a , b ] 上 ③若在 [ a , b ] 上 则在 [ a , b ] 上 证明 ①反证法 必有一点 不妨设 a x0 b （端点处的情况类似） 由 f ( x ) 的连续性 由非负性 由积分中值定理 与题设矛盾 ② 已知 由比较定理 则由①得 而假设 ③ 已知 由比较定理 由①得 １．定积分的性质 （注意估值性质、积分中值定理的应用） ２．典型问题 （１）估计积分值； （２）不计算定积分比较积分大小． 思考题 二、小结 (为常数). 例1 比较积分值和的大小. 则 . 如果在区间上， . ||在区间上的 在区间上至少存在一个点， . 在区间上至少存在一个点， 以曲线 使得以区间为 底边， 为曲边的曲边梯形的面积 等于同一底边而高为 的一个矩形的面积。