6.极小多项式_532002981.pptVIP

* 本周答疑: 4月7日下午5:00～6:00, 理科楼A107 对于给定方阵 A, 如果存在可逆矩阵 P 使得 P-1AP 为 对角矩阵, 则称矩阵 A 可对角化. 中心问题: A 可对角化的条件? 矩阵能不能对角化的关键是能不能找到 n 个线性无关 的特征向量 X1, X2,…, Xn, 使得 AXi = ?iXi, i = 1, 2,…, n. 定理3 设 ?1, ?2, …, ?s 是 A 的 s 个不同的特征值, 而 是属于 ?i 的 mi 个线性无关的特征向量, i = 1,…, s, 则 也线性无关. 下面我们就根据这个定理来分析对角化的具体判别 条件和方法. 要判定 n 阶方阵 A 是否可对角化, 先求出 A 的特征多项 式的所有根. 若 A 有 n 个不同特征根, 必可对角化. 若 A 有重根, 可设共有 s 个不同的特征值 ?1, ?2, …, ?s. 设从 ?i 能得到个数最多的无关特征向量有 mi 个: 这些特征向量合在一起也必线性无关. 这是我们能得到的 A 的个数最多的无关特征向量, 其总数 为: m1+m2+…+ms. n 阶方阵 A 可以对角化当且仅当 n = m1+m2+…+ms. 问题: 由特征值 ?i 所决定的无关特征向量的最大个数 mi (几 何重数)到底能够达到多大? 矩阵 A 的每个特征值 ?i, 称 (?iI-A)X = 0 的基础解系中所 含向量的个数为 ?i 的几何重数. 属于 ?i 的代数重数 ni 就是 A 的特征多项式的根 ?i 的重数. 为了证明 mi ? 代数重数 ni , 先证明下面的引理. 引理 Cn 中任意 s n 个无关向量都可以扩充成 Cn 的一组基. 证明 设 e1, e2,?, en 是 Cn 的自然基, ?1, ?2,?, ?s 是 Cn 中的 s 个线性无关的向量, 这 s 个线性无关的向量可扩充为秩为 n 的向量组 ?1, ?2,?, ?s, e1, e2,?, en 的一个极大线性无关组, 即为所求. 定理4 设 ?i 是 n 阶复方阵 A 的特征值, 则它的几何重数总 不大于它的代数重数, 即 mi ? ni . 证明 设 A 的特征值 ?i 的几何重数为mi , 而 X1, X2,…, Xmi 是 A 的属于特征值 ?i 的 mi 个无关特征向量, 由引理可以把其 扩充成为 Cn 的一组基: X1, X2,…, Xmi,Y1,…,Yn-mi 令 P = (X1, X2,…, Xmi,Y1,…,Yn-mi ), 因为 X1, X2,…, Xmi, Y1,…, Yn-mi 为 Cn 的一组基, 所以存在 n 维向量 Z1, Z2,…, Zn-mi 使得 AY1 = (X1, X2,…, Xmi, Y1, Y2,?,Yn-mi )Z1 = PZ1, AY2 = (X1, X2,…, Xmi, Y1, Y2,?,Yn-mi )Z2 = PZ2,?, AYn-mi = (X1, X2,…, Xmi, Y1, Y2,?,Yn-mi )Zn-mi = PZn-mi, ?iX1 = (X1, X2,…, Xmi, Y1,…, Yn-mi ) ?ie1 = P?ie1, ?iX2 = (X1, X2,…, Xmi, Y1,…, Yn-mi ) ?ie2 = P?ie2,?, ?iXmi = (X1, X2,…, Xmi, Y1,…, Yn-mi ) ?iemi = P?iemi, 故 AP = (?iX1, ?iX2,…, ?iXmi, AY1,…, AYn-mi ) = P(?ie1, ?ie2,…, ?iemi, Z1,…, Zn-mi ), 令 B = (?ie1, ?ie2,…, ?iemi, Z1, Z2,…, Zn-mi ), 则 A 与 B 相似, 所以 A 与 B 有相同的特征多项式, 而 ?i 至少为 B 的特征多 项式的 mi 重根, 故 ?i 在 fA(?) 的重数至少为 mi. 由刚才的结论我们可以得到如下结果: mi ? ni, 其中 ni 是特征根的重数(代数重数), i = 1, 2,…, s, 显然有 n1 +n2 +…+ns = n. A 可对角化 ? mi = ni, i = 1, 2,…, s. 代数重数 ni 比较容易确定, 问题是几何重数 mi 到底如何 确定? 属于