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第六节 能控性、能观测性与传递函数的关系 * * 用数学模型描述系统,通常有两种描述方法:外部描述(使用传递函数阵)和内部描述(动态方程,状态空间描述)。这两种描述是否等价呢?应该说,内部描述比外部描述更深刻。Kalman指出:两种描述的等价是有条件的,不是绝对等价的。举下例说明: 设系统如图: - + + 其传递函数为: 过程中,分子分母消去了(s-1),有零、极点相消,其结果是稳定的。若不相消,则闭环极点为1,-5,显然是不稳定的。这种相消是否可以呢? 状态方程为: 下面我们用内部描述来分析。选择状态变量如下图: - - - + + 写成矩阵形式: 其特征值为1,-5,所以 阵可以转化为对角阵。 状态方程的解为: 。 中有 项,则随着 , ,即在系统中间存在、隐藏着不稳定的因素。 从上面的讨论可以看出:传递函数中有零极点对消时,与内部描述是不等价的。有零极点对消会丢掉很重要的信息。那末,传递函数在什么样的条件下才能完整地描述系统呢? [卡尔曼-吉伯特定理]:一个给定系统的传递函数,仅表示了系统既可控又可观测的那部分系统,而不反映不可控可观测,可控不可观测,不可控不可观测子空间部分。 一般,系统的状态空间可分解为四个子空间:可控可观测,不可控可观测,可控不可观测,不可控不可观测子空间。 [解]:可控性矩阵: [例7-6-1]设有系统: 试判断可控及可观测性。 可观测性矩阵: 使用可控、可观测判据二,可得: (请自行推导) 则系统的状态空间可以分解为: ①可控可观测子空间: ②可控不可观测子空间: ③不可控可观测子空间: ④不可控不可观测子空间:
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