7.1 Navier-Stokes方程的解.ppt

高等流体力学 7 Navier-Stokes 方程的解 (第1部分) 7 Navier-Stokes方程的解 由于Navier-Stokes方程含有非线性项，而数学上至今尚未找到求解非线性偏微分方程的普遍方法，所以Navier-Stokes方程无一般的精确解法。但是，对一些物理现象简单的流体流动问题，能够获得Navier-Stokes方程的精确解。 7 Navier-Stokes方程的解 非线性是求解Navier-Stokes方程的主要困难所在，据此，可以将求Navier-Stokes方程精确解的问题分成两大类： 7 Navier-Stokes方程的解 ①根据流动问题的性质，可以使Navier-Stokes方程中的非线性项全部消失，控制流体流动的Navier-Stokes方程变成线性方程，于是便可以求出这一线性方程的精确解，这类问题通常是不可压缩流体流动，其流线形状事先易于假定； 7 Navier-Stokes方程的解 ②根据流动问题的性质，虽然保留有非线性项，但它的形式简单，Navier-Stokes方程成为简单的非线性偏微分方程，从而求得其精确解。 (例如：通过坐标的相似变换方法，将简单的非线性偏微分方程化为常微分方程，然后求得其精确解。) 7 Navier-Stokes方程的解 自1887年Navier-Stokes方程发表后，人们在很长一段时间中一直探索着Navier-Stokes方程的精确解。然而，从20世纪50年代起，人们就不怎么热心于寻找Navier-Stokes方程的精确解了。 主要原因有三个： 7 Navier-Stokes方程的解 ①Navier-Stokes方程存在固有的非线性问题，使得数学求解十分困难； ②自1904年Prandtl提出边界层理论以后，许多粘性流体流动问题可以采用近似理论来解决； ③随着大型电子计算机的出现和不断升级，使得Navier-Stokes方程的数值求解成为可能。 7 Navier-Stokes方程的解 讨论Navier-Stokes方程的精确求解，目的有： ①能使学习者对流体力学发展历程中的若干典型解法有所了解，以利于开阔解决流动问题的思路； ②能使学习者对一些粘性流体流动问题及其基本特性有所了解，或许有助于求解较为复杂的流动问题； ③有时可以用这些精确解来检验某种近似解法的准确性与适用性。 7 Navier-Stokes方程的解 Navier-Stokes方程的精确解仅限于层流问题，湍流问题不可能有精确解。 7.1 平行流动 不可压缩流体的平行流动是最简单的一类流动，它只有一个不为零的速度分量，所有流体质点都沿同一个方向运动。在直角坐标系中，如果把流体运动方向取作x轴，那么，由连续性方程得 即：运动速度u与坐标轴x无关， 7.1 平行流动 为方便起见，忽略质量力，X＝Y＝Z＝0，将此代入N-S方程的y、z方向项： 得到 7.1 平行流动 可见，压强与坐标轴y、z无关，只是坐标轴x的函数 将上述式子代入N-S方程的x方向项，得 这就是不可压缩流体平行流动的线形二阶偏微分方程。 7.1.1 Couette剪切流 设有两无限大平行放置的平板，两板相距h。下板固定，上板以向右的速度U作匀速直线运动，如下图所示。取x轴与下板重合，y轴垂直于板面，z轴则垂直于纸面向外。 7.1.1 Couette剪切流 按不可压缩流体的定常平行流动考虑。因为平板无限宽，所以流体流动速度在z方向上的变化率为零，即 ， ， N-S方程的x方向项简化为 相应的边界条件为 y＝0，u＝0 y＝h，u＝U 7.1.1 Couette剪切流 方程的左侧项是坐标x的函数，而右侧项是坐标y的函数，方程成立的条件就是 常数 有 积分，得 7.1.1 Couette剪切流 由边界条件y＝0，u＝0，得C2＝0 y＝h，u＝U，得 因此 无量纲速度 式中： 7.1.1 Couette剪切流 流体通过某断面的单宽流量为 由此可以看出，上述流速分布由dp/dx＝0时的流速分布及U＝0, dp/dx≠0时的流速分布叠加而成