8-2多元函数求偏导.ppt

一、偏导数的定义及其计算法 二、高阶偏导数 三、小结 * 偏导数的概念可以推广到二元以上函数 如 在 处 解 证 原结论成立． 解 不存在． 证 有关偏导数的几点说明： １、 ２、 求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求； 解 ３、偏导数存在与连续的关系 但函数在该点处并不连续. 偏导数存在 连续. 一元函数中在某点可导 连续， 多元函数中在某点偏导数存在 连续， 4、偏导数的几何意义 如图 几何意义: 纯偏导 混合偏导 定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. 解 原函数图形 偏导函数图形 偏导函数图形 二阶混合偏导函数图形 观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导函数图象间的关系： 解 问题： 混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？ 解 偏导数的定义 偏导数的计算、偏导数的几何意义 高阶偏导数 （偏增量比的极限） 纯偏导 混合偏导 （相等的条件） 思考题 思考题解答 不能. 例如, * * * 验证: 1、,满足； 2、 满足 . 七、设 求. 函数的二阶偏导数为 定义 设函数在点的某一邻域内有定义，当固定在而在处有增量时，相应地函数有增量 ， 如果存在，则称此极限为函数在点处对的偏导数，记为 在处连续, 七、, . 例3 设，求，. 偏导数就是曲面被平面所截得的曲线在点处的切线对轴的斜率. 2、 , . 三、. 四、 . 五、. 偏导数就是曲面被平面所截得的曲线在点处的切线对轴的斜率. 填空题: 设,则________;_________. 设_______;________. 设则__________;__________; ____________. 设则________;_______; ____________. 同理可以定义函数对自变量的偏导数，记作，，或. 但 不存在. 例4 已知理想气体的状态方程（为常数），求证：. 如果函数在区域内任一点处对的偏导数都存在，那么这个偏导数就是、的函数，它就称为函数对自变量的偏导数， 记作，，或. 同理可定义函数在点处对的偏导数， 为 记为，，或. 例6 设，求二阶偏导数. 例6 验证函数满足拉普拉斯方程 求下列函数的偏导数: 1、； 2、. 曲线,在点(2,4,5)处的切线与正向轴所成的倾角是多少? 设,求 五、设,求和. 依定义知在处，. 定理 如果函数的两个二阶混合偏导数及在区域 D内连续，那末在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等． 5、设,则__________. 例2 设， 求证 . 例如,函数, 若函数在点连续，能否断定在点的偏导数必定存在？ 一、1、； 2、,； 3、, ； 4、； 5、. 二、1、 ; 例1 求 在点处的偏导数． 偏导数是一个整体记号，不能拆分; 例5　设， 求、、、及. ，，或.