8.1高等数学课件.ppt

一、区域 二．多元函数概念 三．多元函数的极限 四．多元函数的连续性 一、偏导数的定义及其计算法 二． 高阶偏导数 一、全微分的定义 二* 、全微分在近似计算中的应用 一．一个方程的情形 二．方程组的情形 一． 空间曲线的切线与法平面 二．曲面的切平面与法线 一、方向导数 二、梯度 一、多元函数的极值及最大值、最小值 二、条件极值 拉格朗日乘数法 函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方 向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值． 讨论： 已知方向导数为 的最大值是什么？ 结论： 梯度的模： | grad f (x，y)| ． = cos j ? sin j 曲面z ?f (x，y)上的曲线 等高线： 在xOy面上的投影曲线f (x，y)?c称为函数z?f (x，y)的等高线． 梯度与等高线的关系： 等高线 f (x，y)?c上任一点P (x，y)处的法线的斜率为 y x O grad f (x，y) fy fx grad f (x, y) 法线的方向向量是什么？ P y x O f (x，y)?c f (x，y)?c1 (c1c) 函数z?f (x，y)在点P (x，y)的梯度的方向与过点P的等高线 f (x，y)?c在这点的法线的一个方向相同，且从数值较低的等高 线指向数值较高的等高线， 而梯度的模等于函数在这个法线方 向的方向导数．这个法线方向就是方向导数取得最大值的方向． 梯度与等高线的关系： 等高线 f (x，y)?c上任一点P (x，y)处的法线的斜率为 三元函数的梯度： 设函数u?f (x，y，z)在空间区域G 内具有一阶连续偏导数， 对于每一点P (x，y，z) ?G ，函数 u?f (x，y，z)在该点的梯度 grad f (x，y，z) 定义为： 结论： 三元函数的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向 导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值． 等量面： 曲面 f (x，y，z)?c 为函数u?f (x，y，z)的等量面． 函数u?f (x，y，z)在点P(x，y，z)的梯度的方向与过点P 的等 量面 f (x，y，z)?c在这点的法线的一个方向相同，且从数值较低 的等量面指向数值较高的等量面， 而梯度的模等于函数在这个 法线方向的方向导数． 例3 求grad ． 解 这里 f(x，y)? ． 因为 ， ， 所以 grad ． 例4 设f (x，y，z)?x2?y2?z2 ， 求grad f (1，?1，2)． 解 grad f ?{fx，fy，fz }?{2x，2y，2z}， 于是 grad f (1，?1，2)?{2，?2，4}． 例1 验证方程x2?y2?1?0在点(0，1)有某一邻域内能唯一确定 一个单值且有连续导数、当x?0时y?1的隐函数y?f(x)，并求这函 数的一阶与二阶导数在x?0的值． 某一邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数、当x?0时y?1的隐 函数y?f(x)． 解 设F (x，y)?x2?y2?1， 则Fx ?2x，Fy ?2y，F(0，1)?0， Fy (0，1)?2?0． 因此由定理1可知，方程x2?y2?1?0在点(0，1)有 ?0； ， ??1． ， 设函数F (x，y，z)在点P(x0，y0，z0)的某一邻域内具有 连续的偏导数，且F(x0，y0，z0)?0，Fz(x0，y0，z0)?0 ，则方程 程F (x，y，z)?0在点(x0，y0，z0)的某一邻域内恒能唯一确定一 个单值连续且具有连续偏导数的函数z?f (x，y)，它满足条件 z0?f(x0，y0)，并有 隐函数存在定理2 ， ． 解 设F (x，y，z)? x2?y2?z2?4z，则Fx?2x，Fy?2z?4， 例2 设x2?y2?z2?4z?0，求 ． ， ． 二元函数：u?u (x，y)，v?v (x，y)，则 偏导数 ， 偏导数 ， 设方程组 确定一对具有连续偏导数的 确定， 由方程组 确定． 由方程组 例3 设xu?yv?0，yu?xv?1，求 ， ， 和 ． 解 两个方程两边分别对x 求偏导，得关于 和 的方程组 解得 ， ． 两个方程两边分别对y 求偏导，