2004年湖南高中数学竞赛试题(含详细答案).docVIP

2004年湖南省高中数学竞赛试题 一、选择题：(本大题共10个小题；每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中， 有且只有一项是符合题目要求的) 1.已知函数f(x)是R上的奇函数，g(x)是R上的偶函数，若，则 ( ) A． B． C． D． 2.有四个函数： ① y=sinx+cosx ② y= sinx-cosx ③ y= ④ 其中在上为单调增函数的是 ( ) A．① B．② C．①和③ D．②和④ 3.方程的解集为A(其中π为无理数，π=3.141…，x为实数)，则A中所有元素的平方和等于 ( ) A．0 B．1 C．2 D．4 4.已知点P(x,y)满足，则点P(x,y)所在区域的面积为 A．36π B．32π C．20π D．16π ( ) 5.将10个相同的小球装入3个编号为1、2、3的盒子(每次要把10个球装完)，要求每个盒子里球的个数不少于盒子的编号数，这样的装法种数为 ( ) A．9 B．12 C．15 D．18 6.已知数列{}为等差数列，且S5=28，S10=36，则S15等于 ( ) A．80 B．40 C．24 D．-48 7.已知曲线C：与直线有两个交点，则m的取值范围是 ( ) A． B． C． D． 8.过正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1的截面面积为S，Smax和Smin分别为S的最大值和最小值，则的值为 ( ) A． B． C． D． 9.设，则x、y、z的大小关系为 ( ) A．xyz B．yzx C．zxy D． zyx 10.如果一元二次方程中，a、b分别是投掷骰子所得的数字，则该二次方程有两个正根的概率P= ( ) A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题8分，共32分） 11.设P是椭圆上异于长轴端点的任意一点，F1、F2分别是其左、右焦点，O为中心，则 ___________. 12.已知△ABC中，，试用、的向量运算式子表示△ABC的面积，即S△ABC= ____________________. 13.从3名男生和n名女生中，任选3人参加比赛，已知3人中至少有1名女生的概率为，则n=__________. 14.有10名乒乓球选手进行单循环赛，比赛结果显示，没有和局，且任意5人中既有1人胜其余4人，又有1人负其余4人，则恰好胜了两场的人数为____________个. 三、解答题（本大题共5个小题，15-17题每小题12分，18题、19题每小题16分，共68分），则称x为f(x)的“稳定点”，函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即} . (1). 求证：AB (2).若，且，求实数a的取值范围. 16.某制衣车间有A、B、C、D共4个组，各组每天生产上衣或裤子的能力如下表，现在上衣及裤子要配套生产(一件上衣及一条裤子为一套)，问在7天内，这4个组最多能生产多少套？ 组 A B C D 上衣(件) 8 9 7 6 裤子(条) 10 12 11 7 17.设数列满足条件：，且) 求证：对于任何正整数n，都有 18.在周长为定值的△ABC中，已知|AB|=6，且当顶点C位于定点P时，cosC有最小值为. (1).建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程. (2).过点A作直线与(1)中的曲线交于M、N两点，求的最小值的集合. 19.已知三棱锥O-ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直，P是底面△ABC内的任一点，OP与三侧面所成的角分别为α、β、. 求证： 2004年湖南省高中数学竞赛试题参考答案 一、选择题： ADCBC CCCBA 二、填空题： 11. 25 12. 13. 4 14. 1 三、解答题： 15.证明(1).若A=φ，则AB 显然成立； 若A≠φ，设t∈A，则f(t)=t,f(f(t))=f(t)=t,即t∈B,从而 AB. 解 (2)：A中元素是方程f(x)=x 即的实根. 由 A≠φ，知 a=0 或 即 B中元素是方程 即 的实根 由AB，知上方程左边含有一个因式，即方程可化为 因此，要A=B，即要方程 ① 要么没有实根，要么实根是方程 ② 的根. 若①没有实根，则，由此解得 若①有实根且①的实根是②的实根，则由②有 ，代入①有 2ax+1=0. 由此解得 ,再