9.1二重积分的概念与性质.ppt

例3 4.二重积分的性质 Method2. 第九章 二重积分 定积分所研究的对象是一元函数，并且积分 图形的面积； 是在一个闭区间上进行的。利用定积分可求出平面 求几何体的体积 （旋转体的体积、 o x y 已知平行截面面积的几何体的体积） 第九章 二重积分 为了解决这样一些实际问题，有必要把定 积分的基本思想加以推广，从而建立二重积分 的概念. 已知平行截面面积的几何体的体积 a x x x+dx A(x) b 在实际工作中，我们还会碰到以下的问题： 由一般曲面所围成的立体的体积、以及非均匀 平面的质量、重心等等。而这类问题在物理学 与工程技术以及经济学中是经常遇到的. * 第九章 二重积分 第一节 二重积分的概念与性质 第二节 二重积分的计算 本节我们将一元函数定积分的概念和思想扩展到二元函数的二重积分上，由于二 重积分是一元函数定积分在二元函数中的进一 者之间的共性与区别. 因此，二重积分概念、性质与定积分类似，二重积分的计算方法也是将其转化为定积分. 步推广. 导言： 学习中要注意与定积分的对比，把握两 第九章 二重积分 （曲顶）柱体体积=？ 特点：曲顶 １．曲顶柱体的体积(volume) （一）问题的提出 以曲面 为顶，以xy平面上区域D为 曲顶柱体 以通过D的边界且与z轴平行的柱面为侧面的立体。 底， 第一节 二重积分的概念与性质 （平顶）柱体体积 高 特点：平顶 =底面积 × 第一节 二重积分的概念与性质 求由直线 x=a, x=b, y=0 与曲线 y=f (x) ≥0 所围成的曲边梯形的面积. 方法： 整体分割—局部近似—求和积累—无限逼近 回顾： x y o (1) 分割 化整为零 (2) 近似 以常代变 (3) 求和 积零为整 (4) 极限 无限累加 曲边梯形面积的求解过程及思想方法 第一节 二重积分的概念与性质 而母线平行于z轴的柱面， 1. 求曲顶柱体的体积 以xOy平面上的 下面讨论如何计算曲顶柱体的体积V . 所围成的几何体. 其顶是连续曲面 D的边界线为准线, 其侧面为以 有界闭区域D为底, 曲顶柱体: 在每个小区域 上任取一点 用任意一组曲线网把区域 D分割成 n 个小 闭区域 整体分割—局部近似—求和积累—无限逼近 方法： (1)分割 其中 既表示第i个小区域 也表示其对应的面积. 分别以这些小闭区域的边界曲线为准线， 作母线平行于z轴的柱面， 这些柱面把曲顶柱体 其体积为 (2) 近似代替 为 的直径 的最大值 以 为高， 则小曲顶柱体的体积 近似地等于 小平顶柱体的体积， 即有 将所有小平顶柱体的体积求和， 可得曲顶柱体体积的近似值为 (3)求和 (4)取极限 记 的体积为 ( 表示 中任意两点间距离的最大值）， 则曲顶柱体 (2) 近似代替 由于这种特殊和式的极限应用极广，实际工作 中各个领域中的不少问题，通常都要化为这种和式 的极限。因此，有必要对这种和的极限进行一般性 的研究。 为了研究问题方便起见，数学上人们就把这种 特殊结构的和的极限称为二重积分。 第一节 二重积分的概念与性质 1. 求曲顶柱体的体积 设函数 f (x, y) 是有界闭区域 D上的有界函数， 则称函数f (x,y)在区域D上可积， x y D 2.二重积分的概念 在 上 记 记为 若极限 作和式 任取一点 既表示第i小块, 也表示第i 小区域的面积. 用任意一组曲线网分割D成 n 个小区域 定义 存在， 即 并称此极限值为f (x,y)在D上的二重积分. （1）二重积分的积分值与区域D的分割方式与点 积分和 积分区域 面积微元 被积函数 积分号 （3）若被积函数在有界闭区域上连续， 与积分变量无关； 该值与区域D及 （2）二重积分的积分值是一数值， 即分割与取点具有任意性； 对二重积分作几点说明： 被积表达式 积分变量