09函数的单调性(理)1.pptVIP

* 设函数 f(x) 的定义域为 I : 一、函数的单调性 　　注: 函数是增函数还是减函数是对定义域内某个区间而言的. 有的函数在一些区间上是增函数, 而在另一些区间上可能是减函数. 如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1, x2, 当 x1x2 时, 都有 f(x1)f(x2), 那么就说 f(x) 在这个区间上是增函数; 如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1, x2, 当 x1x2 时, 都有 f(x1)f(x2), 那么就说 f(x) 在这个区间上是减函数. 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数, 那么就说函数 y=f(x) 在这一区间上具有(严格的)单调性, 这一区间叫做函数 y=f(x) 的单调区间. 二、单调区间 1.取值: 对任意 x1, x2∈M, 且 x1x2; 三、用定义证明函数单调性的步骤 ③在单调区间上, 增函数的图象自左向右看是上升的, 减函数的图象自左向右看是下降的. 2.作差: f(x1)-f(x2)并变形; 3.判定差的正负; 4.根据判定的结果作出相应的结论. 注: ①函数的单调区间只能是其定义域的子区间; ②函数的单调区间是连续区间, 若区间不连续, 应分段 考查. 复合函数 f[g(x)] 的单调性与构成它的函数 u=g(x), y=f(u) 的单调性密切相关, 其规律如下： 增 减 减 减 增 减 减 减 增 增 增 增 单调性 y=f[g(x)] y=f(u) u=g(x) 函数 四、复合函数的单调性 五、函数单调性的判定方法 1.定义法: 主要适用于抽象函数或已知函数.　 2.导数法: 适用于具体函数.导数大(小)于零的区间为增(减)区间; 3.图像法:从左向右图像上升(下降)的是增(减)函数. 4.复合函数单调性的判定: 同增异减 6.奇偶性: 7.反函数:　 奇函数在对称区间上具有相同的单调性; 偶函数在对称区间上具有相反的单调性. 互为反函数的两个函数在各自的定义域上具有相同的单调性. 5.和(差)函数单调性的判定: 在公共定义域内： 8.重要结论:　 1.函数 f(x) 的单调递增(或递减)区间是 D: 2.函数 f(x) 在区间 D 上单调递增(或递减): 不等式 f ?(x)0(0) 的解集是区间 D; 不等式 f ?(x)≥0(≤0) 对于 x?D 恒成立. 若函数 f(x) 可导, 六、两类问题的区别 七、注意事项 单调区间不能任意用“ ”来联结. 1.试求函数 f(x)=ax+ (a0, b0) 的单调区间. x b 解: ∵函数 f(x) 的定义域为(-∞, 0)∪(0, +∞), 典型例题 函数 f(x) 的导函数 f ?(x)=a- = , b x2 ax2-b x2 ∴函数 f(x) 的单调递增区间是 (-∞, - ) ， ( , +∞), 　 a b a b 函数 f(x) 的单调递减区间是 (- , 0) ， (0, ). a b a b 令 f ?(x)0 得: x2 ? - x0 或 0x . a b a b a b 令 f ?(x)0 得: x2 ? x- 或 x ; a b a b a b 　　 ②求函数的单调区间是单调性学习中的最基本的问题, 但必须注意, 如果函数的解析式含有参数, 而且参数的取值影响函数的单调区间, 这时必须对参数的取值进行分类讨论. 注: ①这个函数的单调性十分重要, 应用非常广泛, 它的图象如图所示: o y x 2 ab -2 ab b a b a - 2.求函数 f(x)= x+2 - ax 的单调区间. 解: 函数 f(x) 的定义域为[-2, +∞), ①当 a≤0 时, f ?(x)0(x∈(-2, +∞)), ∴当 a≤0 时, 定义域[-2, +∞)为 f(x) 的单调递增区间; ∵f ?(x)= -a= , 2 x+2 1 2 x+2 1-2a x+2 ②当 a0 时, 令 f ?(x)0, 则 2a x+2 1. ∴4a2(x+2)1 而 f(x) 的单调递减区间是 ( -2, +∞). 4a2 1 ? x -2; 4a2 1 令 f ?(x)0, 则 x -2.