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*/20 《数值分析》典型例题 I 一、二章内容提要 典型例题分析 例题与练习题 实验题介绍 ? ? ? ? 具有n 位有效数字,则绝对误差满足 相对误差满足 如果一个浮点数 1. 设x*是 f(x)=0在[a, b]内的唯一根,且 f(a)·f(b)0,则二分法计算过程中, 数列 满足: | xn – x*|≤ (b – a)/ 2n+1 2. Newton迭代格式: 3. 弦截法迭代格式: (n = 0, 1, 2 , ·····) 设 , 若存在 a0 , r0 使得 则称数列{xn} r 阶收敛. 定理2.6 设x*是 的不动点,且 而 则 p阶收敛 例1.设x1 = 1.21,x2 = 3.65,x3 = 9.81都具有三位有效位数,试估计数据：x1×(x2+x3)的误差限。 解：由|e(x1)|≤0.5×10-2，|e(x2)|≤0.5×10-2， |e(x3)|≤0.5×10-2 所以, |e(x2+x3)|≤10-2 |e(x1×(x2+x3))|≤ (1.21+0.5×13.46)×10-2 =7.94×10-2 例2.设计算球体V允许其相对误差限为 1%,问测量球半径R 的相对误差限最大为多少? 解：由球体计算公式分析误差传播规律 故当球体V 的相对误差限为 1% 时，测量球半径R的相对误差限最大为0.33%。 ? ? 相对误差传播规律 Ex1. 对球冠体积若允许其相对误差为1%,问应该对R, h 如何限制? 例3*. 采用迭代法计算 ，取x0 = 7 (k = 0，1，2，……) 若xk具有n位有效数字，求证xk+1具有2n位有效数字。 Ex2：对 是否都有这一性质? 1-8 序列{ yn }满足递推关系 yn = 10yn-1 – 1 (n = 1,2,·····) 若取 y0 =√2 ≈1.41(三位有效数字).递推计算 y10 时误差有多大？ 思考: 由递推导出符号表达式可否用于计算？ Ex3.用递推公式: In = 1 – nIn-1 (I0 = 1- e-1) 推导 In 的符号表达式 1-12 利用级数 可计算出无理数? 的近似值。由于交错级数的部分和数列Sn 在其极限值上下摆动，试分析，为了得到级数的三位有效数字近似值，应取多少项求和。 解: 由部分和 只需 ? n 1000时, Sn有三位有效数 Ex4.推导部分和数列加速的计算表达式 ?2-6? 应用牛顿迭代法于方程 x3 – a = 0, 导出求立方根的迭代公式,并讨论其收敛阶。 解：令 f(x) = x3 – a，则牛顿迭代公式 故立方根迭代算法二阶收敛 例 4.设a 为正实数，试建立求1/a 的牛顿迭代公式，要求在迭代公式中不含有除法运算，并考虑迭代公式的收敛。 xn+1 = xn(2 – a xn)，( n = 0，1，2 ……) 所以,当| 1 – a x0| 1 时，迭代公式收敛。 解:建立方程 利用牛顿迭代法，得 1 – a xn+1 = (1 – a xn)2 整理，得 例2.10 用牛顿迭代法求解非线性方程组 分别取初值(1,0),(2,2),牛顿迭代法计算数据如下 n xn yn xn yn 0 1 0 2 2 1 1.0625 0.1250 1.6458 1.5833 2 1.0673 0.1391 1.5570 1.4163 3 1.0673 0.1392 1.5465 1.3917 4 1.0673 0.1392 1.5463 1.3912 Ex6. 若 x*是f(x)=0的m重根,试分析牛顿迭代法的收敛阶 Ex7. 若 x*是f(x)=0的m重根,试证明修正的牛顿迭代法 至少为二阶收敛