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数学的内容 数学科学按照其内容可分成五大学科: 纯粹(基础)数学 (Pure Mathematics) 应用数学 (Applied Mathematics) 计算数学 (Computation Mathematics) 运筹与控制 (Operations Research and Control) 概率论与数理统计(Probability and Mathematical Statistics) 数学的核心领域 代数学: 研究数的理论 几何学: 研究形的理论 分析学: 沟通形与数且涉及极限运算的部分 数学是什么? 数学是一种语言,是一切科学的共同语言 数学是一把钥匙,一把打开科学大门的钥匙 数学是一种工具,一种思维的工具 数学是一种艺术,一门创造性艺术 …… 大学数学的主要内容 解析几何: 用代数方法研究几何 线性代数: 研究如何解线性方程组及有关的问题 高等代数: 研究方程式的求根问题 微积分: 研究变速运动及曲边形的求积问题 概率论与数理统计: 研究随机现象, 依据数据进行推理 数学的三大特点 抽象性 精确性 应用的极端广泛性 特点之一: 抽象性 数学概念、数学方法是抽象的 只保留量的关系和空间形式 数学的抽象性一级一级逐步提高，大大超过其他学科中的一般抽象 数学本身几乎完全周旋于抽象概念和他们的相互关系之中 特点之二: 精确性 定义的准确性 推理的逻辑严格性 数学结论的确定无疑性和无可争辩性 特点之三：应用的广泛性 凡是出现量的地方就少不了数学。缺少了它就不能准确地刻画出客观事物的变化，更不能由已知数据推出其他数据，因而就减少了科学预见的可能性或科学预见的精确度。 数学发展的四个时期 第一个时期: 数学形成时期 第二个时期: 初等数学 第三个时期: 变量数学的时期 第四个时期: 现代数学 第一个时期: 数学形成时期 第二个时期: 初等数学 第三个时期: 变量数学的时期 第四个时期: 现代数学 数学的魅力 诱人的猜想 神奇的预言 美妙的和谐 惊人的简洁 诱人的猜想 哥德巴赫(C. Goldbach, 1690-1764)猜想 费马(Fermat, 1601-1665)关于素数的猜想 波利耶(G. Polya)猜想 有阅兵式产生的正交拉丁方猜想 哥尼斯堡七桥问题 神奇的预言 海王星的发现 “正电子”的存在 美妙的和谐 黄金分割 电磁波方程 无理数的表示 惊人的简洁 数学问题简洁 数学语言简洁 数学概念简洁 数学的证明简洁 数学证明与科学证明 数学的证明 经典的数学的证明方法是, 从一系列公理、定理出发，通过逻辑论证，一步一步地得到某个结论。 如果公理是正确的 ，逻辑又没有缺陷，那么得到的结论将是不可否定的。这个结论就是一个定理。 科学的证明 以物理学为例。在物理学中，一个假设被提出来，用以解释某一类物理现象。如果对物理现象的观察与这个假设相符，就成为这个假设成立的证据。如果它再次成功，那么就有更多的证据支持这个假设。最终，证据的数量可能达到压倒的程度，这个假设就作为一个理论而被接受。 科学证明的缺陷 科学的证明依赖于观察、试验和理解力，而这两者都是容易出错的，从而它只能提供近似真理的概念。即使人们最为普遍地接受了的科学证明也总是存在着可疑的成分。而在另一些场合，这种理论最终会被证明是错的，这就导致科学上的革命，用一种新理论去代替原以为正确的旧理论。这种新理论可能是原有理论的深化，也有可能与原有理论完全相反。 数学证明与科学证明的不同 数学证明具有绝对的意义，是无可怀疑的。比达哥拉斯公元前500年证明的定理，今天依然正确。数学不依赖于容易出错的试验数据，而是立足于逻辑。 数学史上的三次危机 第一次数学危机(无理数的发现) 第二次数学危机(微积分的产生） 第三次数学危机(集合论中的悖论) 现代数学发展的新趋向 从单变量到多变量 从线性到非线性 从局部到整体，从简单到复杂 从连续到间断，从稳定到分岔 从精确到模糊 计算机的使用 各种能力的培养 抽象思维能力 逻辑推理能力 空间想象能力 熟练运算的能力 严谨自学的能力 综合运用所学知识与分析解决问题的能力 大学学习的特点 快节奏 多内容 粗线条 重难点 * * ＊数学已有一百多个分支 ＊ 数学的严格性不是绝对的，而是相对的，发展着的，这正体现了人类认识逐渐深化的过程。 这是人类建立最基本的数学概念的时期.人类从数数开始逐渐建立了自然数的概念,简单的计算法, 并认识了最简单的几何形式, 逐步地形成了理论与证明之间的逻辑关系的“纯粹”数学. 算术和几何还没有分开, 彼此紧密地交错着. 常数数学的时期. 这个时期的基本的、最简单的成果构成现在中学数学的主要内容。这个时期从公元前5世纪开始，也许更早一些，直