第七讲观察.docVIP

第讲　观察、概括与猜想 在我们认识问题的过程中，往往需要经历一个观察、概括与猜想的过程，学习数学也是这样，希望我们通过一组题目来学习解决这类问题的方法。通过解决这类问题，有助于提高我们的观察概括的能力．同时解决这类问题也往往需要运用从特殊到一般、从个别到抽象的认识问题的方法，它可以使我们学会如何从多个角度来全面地认识事物，从而提高我们的良好的思维品质 . 例1 用火柴棒按图所示的方法搭图形． (1) 填写下表： 三角形个数 1 2 3 4 5 火柴棒根数 ? (2)搭n个这样的三角形需要多少根火柴棒? 思路分析： 当n=1时，需3根火柴棒； 当n=2时，需5根火柴棒； 当n=3时，需7根火柴棒： 当n=4时，需9根火柴棒： 当n=5时，需11根火柴棒． 从数量上看，后个数比前个数大2，每个数——3、5、7、9、11是奇数，所以搭”个这样的三角形需2n+1根火柴棒． 从图形上分析，每搭一个三角形就需要3根火柴，但是图形的特征是连续搭的，有重合的部分就要减去，因此就得到了［3n-(n-1)］根，整理得(2n+1)根． 解：（1） 三角形个数 1 2 3 4 5 火柴棒根数 3 5 7 9 11 (2) 搭 n 个这样的三角形需要 (2n+1) 根火柴棒． 例2 用棋子摆成下列三角形的图形： (1)计算第8个图形要用多少枚棋子? (2)用代数式表示第n个图形所用棋子的枚数； (3)第几个图形要用棋子2004枚? 思路分析： 当n=1时，需3枚棋子，3=1×3； 当n=2时，需6枚棋子，6=2×3： 当n=3时，需9枚棋子，9=3×3． 从数量上看，后一个数比前一个数大3，所以摆第n个三角形需用3n枚棋子． 从图形上看，第1个图形的边上有2个点，三条边上有2×3个点，但顶点的三个棋子各重叠一次需减去，所以需(2×3-3)枚；第2个图形的边上有3个点，三条边上有3×3个点，但顶点的三个棋子各重叠一次需减去，所以需(3×3-3)枚；第3个图形的边上有4个点，三边上有4×3个点，但顶点的三个棋子各重叠一次需减去，所以需(4×3-3)枚； 依此类推，第n个图形需［3(n+1)-3］枚，即3n枚棋子． 解(1)第8个三角形要用3×8=24枚棋子； (2)第n个三角形所用棋子数为3n枚； (3)令3n=2004，解得n=668，所以第668个三角形要用棋子2004枚． 例3 观察下列各正方形图案，每条边上有 n(n ≥ 2) 个棋子，每个图案中棋子总数为 s ． n=2， n=3， n=4， s2 =4： s3 =8； s4 =12; 据此规律，推断出s与n的关系式． 思路分析： 从数量上看，后一个数比前一个数大4， n=2时，4=4(2-1)； n=3时，8=4(3-1)； n=4时，12=4(4-1)． 因此每条边上有n个棋子时，棋子总数sn =4(n-1)． 从图形上看， 边长为2时，用棋子22 个； 边长为3时，用棋子32 -12 =8个； 边长为4时，用棋子42 -22 =12个； 依次类推，边长为 n 时，用棋子 n2 -(n-2)2 =(4n-4) 个． 解： sn =4n-4 例4 如下图，在有公共边的三角形和长方形的边上有规律地排列些点． (1)填空： 每边有2个点，图中共有_____个点； 每边有3个点，图中共有_____个点； 每边有4点，图中共有_____个点． (2)根据前面的规律，总结出每边上的点数为n(n为大于1的整数)时，点的总数为_____． 思路分析： 当n=2时，共有5个点，5=2×6-7； 当n=3时，共有11个点，11=3×6-7； 当n=4时，共有17个点，17=4×6-7； 从数量上看，后一个数比前一个数大6，所以每边上的点数为n时，点的总数为(6n-7)个． 从图形上看，组成图形的点可以拆成两部分： 合起来想(2n-3)+4(n-1)=6n-7． 例5 用点“·”和小木棍“一”按一定规律组成下面的图形，请你用n(n是正整数)的代数式分别表示第n个图中的“·”和“-”的个数． 思路分析： 从数量上看： 当n=1时，有点“·”1个，小木棍“-”有4根； 当n=2时，有点“·”4个，小木棍“-”有12根； 当 n=3 时，有点“·” 9 个，小木棍“ - ”有 24 根； 从数量上看：点“·”有 1=12 　　4=22 　　9=32 … n=1 　　 n=2 　　 n=3 … 所以第n个图中点“·”有n2个． 从数量上看：小木棍“-”有 4 　　　　　12 　　　　　24 … 4=2×2 　　 12=4×3 　　 24=6×4 =2×1×(1+1) =2×2