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二次函数教学探讨 四川省威远县第一初级中学 陈端礼 一、教材内容及考点分析： 1、本章是学习了一次函数正比例函数和反比例函数以后，进一步学习函数知识，是函数知识螺旋的一个重要环节。二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要数学模型。二次函数——抛物线，是人们最为熟悉的曲线之一，同时抛物线形状在建筑上也有着广泛的应用，二次函数也是某些变量最优化问题的数学模型和一次函数、反比例函数一样，二次函数也是一种非常基本的初等函数，对二次函数的研究将为进一步学习函数、体会函数的思想奠定基础和积累经验。 3、本章内容主要是二次函数及其图象与性质。具体包括了二次函数的概念、二次函数（a≠0）的图象和性质、抛物线与，，（a≠0）之间的关系、二次函数，，（a≠0）的图象与性质、二次函数（a≠0）的图象与性质、二次函数解析式的求法、二次函数与一元二次方程及不等式的关系、二次函数的应用。 4、本章的重点是用二次函数的图象和性质解决有关函数的问题。难点是,描点法画函数的图象等在本章中都要用到。因此，要注意复习已学函数内容，帮助二次函数。 的图象关于y轴对称，函数的图象关于y轴对称，函数，的图象可以由函数的图象平移得到，这些内容都涉及到已学的图形变换的内容。复习对称及坐标表示等内容，有助于学习本章中的上述内容。 讨论函数y=ax2+bx+c，关键是用配方法把它化为函数。配方法曾用来解一元二次方程，已经有所了解。在本章相关内容的学习中，通过运用配方法，进一步熟悉这种方法。 0，在实际问题中要注意其正负。 3、对于二次函数的图象和性质，要结合图象理解记忆。 二次函数的性质，主要是从抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、函数值的增减性，以及函数的最大值或最小值几个方面来研究。 所有二次函数的图象都由a决定开口。当a＞0时，抛物线开口方向向上；当a＜0时，抛物线开口方向向下；越大，抛物线开口越小；反之，越小，抛物线开口越大。 对不同形式的二次函数的学习，是由简单到复杂逐步探索的，要注意它们之间的联系。抛物线与，，（a≠0，a相同）的形状相同，只是位置不同；也就是说，平移后，图象可以重合。可以先确定顶点的平移，也就得到整个图象的平移。 函数 顶点坐标 对称轴 函数变化 最大（小）值 （0，0） y轴（也叫直线x=0） 若a＞0，则 当x＞0时，y随x增大而增大； 当x＜0时，y随x增大而减小。 若a＜0，则 当x＞0时，y随x增大而减小； 当x＜0时，y随x增大而增大。 当x=0时，y有最小值为0。 当x=0时，y有最大值为0。 （0，k） y轴（也叫直线x=0） 当x=0时，y有最小值为k。 当x=0时，y有最大值为k。 （h，0） 直线x=h 若a＞0，则 当x＞h时，y随x增大而增大； 当x＜h时，y随x增大而减小。 若a＜0，则 当x＞h时，y随x增大而减小； 当x＜h时，y随x增大而增大。 当x=h时，y有最小值为0。 当x=h时，y有最大值为0。 （h，k） 注：在“配方形式下”，顶点横坐标使完全平方为0 直线x=h 当x=h时，y有最小值为k。 当x=h时，y有最大值为k。 二次函数（a≠0）的图象与性质。解题时既可以配方，也可以直接用下述结论。 二次函数都可把它的解析式配方为顶点式：，性质如下： （1）图象的顶点坐标为，对称轴是直线。 （2）最大（小）值：当，有最小值，当时，，无最大值；当，有最大值，当时，，无最小值。 （3）对于a＞0。当时，y随x增大而增大；当时，y随x增大而减小。对于a＜0。当时，y随x增大而减小；当时，y随x增大而增大。 在学习完几种形式之后，关键在于理解记忆，因为其它形式都可以看作是的特殊形式或变形为这个形式。 4、二次函数的图象的特征与a、b、c及的关系。 二次函数的图象能形象直观地反映函数的性质，而其图象的特征又与a、b、c及有密切关系。 （1）a决定图象的开口方向。当a＞0时，图象开口向上；当a＜0时，图象开口向下。反之亦然。 （2）c决定图象与y轴交点的位置。当c＞0时，图象与y轴的正半轴相交；当c=0时，图象过原点；当c＜0时，图象与y轴的负半轴相交。反之亦然。 （3）a、b共同决定图象的对称轴位置。当a、b同号时，对称轴在y轴的左侧；当a、b异号时，对称轴在y轴的右侧；当b=0时，对称轴就是y轴。反之亦然。特别注意对称轴与 x=1或x=-1的位置关系。 （4）决定图象与x轴的交点个数。当＞0时，图象x轴有两个交点；当=0时，图象x轴有一个交点；当＜0时，图象x轴没有交点。反之亦然。 （5）当x=1时，y=a+b+c；当x=－1时，y=a－b+c；当x=2时，y=4a+2b+c；当x=－2时，y=4a－2b+c；这也是判断图象问题时常用的关系式。