例谈函数与方程思想.docVIP

例谈函数与方程思想 宜都市一中 兰林 函数与方程思想是高中数学重要的思想方法之一，函数思想是利用运动的观点研究具体问题中的数量关系，通过建立函数模型，结合函数知识解决具体问题的思想方法。方程思想是分析数学问题中变量间的相等关系，从而建立方程（组）将问题解决的思想方法。由于函数与方程两者密不可分，所以在解决具体的数学问题时，这两种思想方法之间又可以相互转化，熟练运用函数与方程思想解决数学问题是高中阶段重要的数学能力之一，也是历年高考的重点。下面我们通过具体的实例来看看如何利用函数与方程的思想来解决数学问题。 例1： 本题的属方程问题，由于方程形式很复杂，定量解决根的大小很困难，但是定性解决根的个数并不困难，我们可以改变方程的外观形式，变形为，再利用数形结合思想将这个问题转化为函数图象交点个数问题，从而使问题得到解决，由图象我们可知方程有2个不同实根。 变式练习：零点在内，则=____.【或1】 本题属方程根的分布问题，难度较大，可以将方程变形为， 利用函数观念，将当作关于的函数，利用函数值与自变量的对应关系，将方程有解的问题转化成函数值域问题来解决，通过换元法，令，则，我们不难得出的取值范围是 求的取值范围。【】 A. R B. ｛x|x＞0｝ C.｛x|x＞1｝ D. ｛x|x＞2｝ 本题属解解不等式问题，直接解有困难，由于为选择题，故可以考虑寻求特殊方法来解决，不等式也与函数、方程之间有着非常密切的联系，我们可以构造函数 ，由于，由函数知识可知函数为上的增函数，故此题应选. 例4： 设，，试比较a、b的大小. 本题属不等式中比较大小的问题，若用一般方法即作差法、作商法来做较繁杂不易判断， 由于a、b两数的结构特点可构造函数，则a=f(33)，b=f(34)，若能判断出此函数的单调性，那么就可简捷地比较出a、b的大小. ∵　3x+1在R上递增，在R上递减 ∴ 在R上递减 ∴ f(33)＞f(34)，即a＞b ，（a、b、c∈R），则有（ ） A. B . C. D. 本题初看已知条件不易找到解题思路，但是看到要研究大小关系的两个式子的特征联想到一元二次方程的根的判别式后，可以利用方程思想构造一元二次方程：a·5－b·＋c＝0，把看作是实系数一元二次方程的一个实根，则△＝≥0 ∴ 故选(B) 例6:设实数满足，求的取值范围. 本题属线性规划问题，在作出可行域后，目标函数的意义不明显，难度较大，我们可以等价地将目标函数变形为，目标函数中出现了具有明显几何意义的式子，可以构造函数，利用线性规划知识易知，利用对勾函数及不等式的有关知识我们可以得到的取值范围是. 函数与方程的思想是数学思想中两个最重要的体系，一旦数学问题被纳入到这两个知识体系中，就会产生如鱼得水的感觉.因此，我们在平时的教学中要让学生加强这种思想方法的研究与实践，这样就能不断提高他们的解题能力.