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第一次“每周一题”参考解答 在解决整个问题之前，建立坐标系为：以物体抛出点为原点，以竖直向上方向为x正方向。 （1）利用牛顿第二定律，容易得到初值问题如下： （1） 对（1）式积分，并利用初始条件，得到。达到最高点时，物体速度为0，因此，立刻可以求得达到最高点的时间 （2） （2）有空气阻力时，物体受到的力包括重力和阻力，因此有 （3） 也就是 （4） 这是一个一阶线性非齐次微分方程，可以解出速度和时间之间的关系如下： （5） （3）为计算高度和时间之间的关系，只要对（5）式进行积分，这样有 （6） （4）为计算时间t3,只要将（5）式令为0，解出时间就是所求的值，因此可以得到 （7） 根据（2）式，，这样令函数，将看成变量，利用函数的单调性，可以证明，也就是说。 （5）实际上，令（6）式等于0，也就是说物体的高度等于0时解出时间的值，容易看出问题有一个解是0，也就是初始时刻物体的高度为0，可以证明，方程存在唯一正解，这个时间就是回到地面的时间，数值上等于。但是因为这个是一个超越方程，无法计算这个值，因此下面使用其他的方程求解。 因为高度y是时间的函数，我们考察 （8） 其中。 前面说过，高度y是时间t的函数，当t = 0时代表在初始位置，高度为0，经过t3之后，物体达到最高点，再经过t3时间，也就是的高度，有三种情况：第一，，表示还在地面以上，没有落地，因此这种情况等价于；第二，，表示刚好落地，因此这种情况等价于；第三，，表示已经落地，因此这种情况等价于。 为此，令 （9） 当x = 1时，有，对于x 1，对（9）求导数可以证明，也就是说，第一种情况总成立，所以，。