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简化和避免分类讨论方法略谈 顾华 分类讨论的思想方法是高中数学的基本方法之一，是历年来高考的重点。分类讨论思想具有明显的逻辑特点，解这一类问题需要同学们有一定的分析能力和分类技巧。但在重视分类讨论思想应用的基础上，应防止见参数就讨论，能整体解决的就不必分类讨论，树立辩证的解题观点使分类讨论用得更为合理。如何简化和避免分类讨论，本文就此作一探讨，供大家借鉴。 一、直接回避 例1. 已知a0且，解不等式。 分析：此题一般都会先去绝对值符号，然后由0a1，a1进行分类讨论来解。事实上，对a没有必要进行讨论，可以考虑消去参数a。 解：原不等式可化为，所以（因）。 上式两边平方、移项、整理可得。 由对数函数的性质得－1x1且，所以0x21，01－x21。 因此lg（1－x2）0，由此得。 解上述不等式得0x1，即为原不等式的解。 评注：运用消参数可避开烦琐的讨论，使问题容易获解。 二、变更主元 例2. 设，其中，如果时，f（x）有意义，求a的取值范围。 分析：根据函数f（x）有意义的条件，分离参数a，重新构造函数表达式可避开分类讨论。 解：当时，f（x）有意义，即等价于时，成立。将不等式变形，分离出。 原命题等价于时，求使上式成立的a的取值范围。 令，当时，只需aymax。 而在上是增函数，故当x=1时，得。 因此，即a的取值范围是。 评注：分离参数变参置换、构造以讨论对象为变量的函数，可避开分类讨论。 三、合理运算 例3. 已知函数，当0ab时，有，求证：ab1。 分析：由已知，得。一般方法按0ab1或0a1，b1或1ab三种情况讨论。若两边平方、移项利用对数函数的性质可避开分类讨论。 解：由f（a） f（b），得。两边平方得，即，所以。又0ab，，得，所以可得lg（ab）0，即ab1。 例4. 设定义在[－2，2]上的偶函数f（x），在[0，2]上单调递减，若f（1－m） f（m），求实数m的取值范围。 分析：根据函数的定义域，，但1－m和m在[－2，0]、[0，2]的哪个区间内？如果就此讨论，将十分复杂，注意到偶函数的性质f（x）= f（| x |），从而避开分类讨论。 解：由于是偶函数，则有，从而不等式可化为。又时，是减函数。 因此，解得。 评注：利用等价变形、函数的奇偶性、变量的对称变换以及公式的合理运用可简化和避开分类讨论。 四、数形结合 例5. 对于函数，存在，使f（x0）0，求a的取值范围。 分析：含参数的二次函数在指定区间上的函数值问题，一般先配方，然后就其图象对称轴在区间内、区间左侧、区间右侧分类讨论。如果改变一下视角，巧妙变形，借助数形结合就可避开分类讨论。 解法1：由， 其图象对称轴方程为。 （1）当，即时， ，要，使， 必有，解得或 此时与矛盾。 （2）当，即a－2时，f（x）min= f（1）=2，此时不可能，使得f（x0）0。 （3），即a0时， 要使，必有－a+10，即a1 综上得a1。 解法2（数形结合）：由时，f（x）0，得。令。作函数y1与y2的图象，在时，y2过点（0，1）及（1，2）时为极限位置，由图象知其直线y2的斜率满足－a－1，即a1。 评注：利用函数图象的直观性，通过数形结合可简化和避开分类讨论。比较解法1和解法2，其解法2简洁明快，同学们不妨仔细琢磨一下。 快乐学习，尽在中小学教育网