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解不等式题根研究与探讨 湖南衡阳县五中 陈胜 湖南祁东育贤中学 周友良 题根 解不等式：（1）(x-1)(x+2)(x-3)0； （2）x(x-3)(2-x)(x+1)0.；（3）(x-2)2(x-3)3(x+1)0. ［思路］1）高次不等式可等价转化为一元一次、一元二次不等式组来解决，但程序化后用列表法或根轴法来解高次不等式则更简单。 2）要注意用这两种方法解不等式的具体要求和注意事项。 ［解题］（1）①检查各因式中x的系数符号均正； ②求得相应方程的根为：-2，1，3； ③列表如下： -2 1 3 x+2 - + + + x-1 - - + + x-3 - - - + 各因式积 - + - + ④由上表可知，原不等式的解集为：{x|-2x1或x3}. 小结：此法叫列表法，解题步骤是： ①将不等式化为(x-x1)(x-x2)…(x-xn)0(0)形式（各项x的符号化“+”），令(x-x1)(x-x2)…(x-xn)=0，求出各根，不妨称之为分界点，一个分界点把（实数）数轴分成两部分，n个分界点把数轴分成n+1部分……； ②按各根把实数分成的n+1部分，由小到大横向排列，相应各因式纵向排列（由对应较小根的因式开始依次自上而下排列）； ③计算各区间内各因式的符号，下面是乘积的符号； ④看下面积的符号写出不等式的解集. . （2）在没有技术的情况下：可大致画出函数图形求解，称之为串根法 ①将不等式化为(x-x1)(x-x2)…(x-xn)0(0)形式，并将各因式x的系数化“+”；(为了统一方便) ②求根，并在数轴上表示出来； ③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）； ④若不等式（x的系数化“+”后）是“0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“0”,则找“线”在x轴下方的区间. 注意：奇穿偶不穿 直接写出解集：. {x|-1x0或2x3} （3）①检查各因式中x的系数符号均正； ②求得相应方程的根为：-1，2，3（注意：2是二重根，3是三重根）； ③在数轴上表示各根并穿线，每个根穿一次（自右上方开始），如下图： ④∴原不等式的解集为：{x|-1x2或2x3}. 说明：∵3是三重根，∴在C处穿三次，2是二重根，∴在B处穿两次，结果相当于没穿.由此看出，当左侧f(x)有相同因式(x-x1)n时，n为奇数时，曲线在x1点处穿过数轴；n为偶数时，曲线在x1点处不穿过数轴，不妨归纳为“奇穿偶不穿”. ［收获］特殊的高次不等式即右边化为0，左边可分解为一次或二次式的因式的形式不等式，一般用区间法解，注意：①左边各因式中x的系数化为“+”，若有因式为二次的（不能再分解了）二次项系数也化为“+”，再按我们总结的规律作；②注意边界点（数轴上表示时是“空心点”还是“实心点”）. 第1变 高次分式不等式的解法 ［变题1］解不等式≥x+1 ［思路］1）可将分式不等式移项通分化为0(或0)的形式，转化为：，即转化为一次、二次或特殊高次不等式形式 . 2）（序轴标根法）作数轴、标根、画曲线、定解， ［解题］ ≥x+1 ≤0 x·(x－1)(x+1)(x+2)(x+5)0，且x≠－1－2x|x≤－5－1x≤1 ［收获］（1）在某一区间内，一个式子是大于0（还是小于0）取决于这个式子的各因式在此区间内的符号；而区间的分界线就是各因式的根；上述的序轴标根法，几乎可以使用在所有的有理分式与高次不等式； （2）序轴标根法，分解因式后，必须使各括号内的系数为正。 （3）若分式不等式有等号，则解集中应包括分子的根，但不包括分母的根。. 第2变 构造法解高次不等式 ［变题2］解不等式 ［思路］本题直接将左边通分采用解高次不等式的思维来做运算较烦。但注意到且题中出现 , 启示我们构造函数f(x)=x3+5x去投石问路。 ［解题］将原不等式化为，令f(x)=x3+5x，则不等式变为，∵f(x)=x3+5x在R上为增函数∴原不等式等价于，解之得：－1＜x＜2或x＜－2。 ［收获］本题观察到与结构一样后构造函数后直接利用函数的单调性大大减少了运算量。善于观察才善于构造。 第3变 解含参不等式 ［变题3］解关于x的不等式：(x-x2+12)(x+a)0. ［思路］①将二次项系数化“+”为：(x2-x-12)(x+a)0， ②相应方程的根为：-3，4，-a，现a的位置不定，应如何解？ ③要用串根法解此不等式，需将这三个根按从小到大的顺序在数轴上排列。因此要分类讨论它们的大小。 ［解题］ⅰ当-a4，即a-4时，各根在数轴上的分布及穿线如下： ∴原不等式的解集为{x| -3x4或x-a}. ⅱ当-3-a4，即-4a3时，各根在数轴上的分布及穿线如下： ∴原不等式的解集为{x| -3x-a或x4}. ⅲ当-a-3