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* * CH 0 数学基础 § 0.1 极限 极限是一个重要的物理概念。 通过一些较简单 的物理过程，可以得到某些直观的印象，但不能 代替数学中极限的精确论述。 如函数 若 该式分子分母都是零，函数没有直观意义 但考虑 时函数的特点 A D B C O 在0附近，三者同号，有 或 说明y在 趋于零过程中，保持不大于1，又不小于 ，但 在 趋于零时无限接近于1，所以 无穷小量： y在 趋于零过程中，保持不大于1，又不小于 称y-1为无穷小量 设δ为任何给定正数 无穷小量：其绝对值小于任何给定正数 同理x-0=x为无穷小量 则有 一.极限的表述 在自变量 与某一定值 的差为无穷小量时， 函数 与数A的差也为无穷小量，则A是 在 趋于 的极限。 即当 时， 或当 无限接近于 时， 无限接近于 二.极限的运算规则： (2)有限个极限的函数的积（商）的极限，等于它们 的极限的积（商）。 （1）一个有限的函数与常数积的极限，等于该函数 极限与常数之积。例如 为常数，则 若 则 例1 求 解 由和差化积公式 (3)有限个有极限的函数的和（差）的极限等于它们 极限的和（差）。 若 则 例 2 求 解 利用二项式公式 §0.2 微商与微分 微商是从大量实际问题为背景提炼出来的一种 函数运算的极限，它与物理学的许多基本规律 和基本物理量的定义有密切的关系。 时刻和 时刻质点的坐标分别为 求 时刻质点的速度? 以质点运动学为例：若一质点m在竖直的Y轴上作非 匀速运动，其位置坐标可表为 在 时间内，质点经历的距离是 之比可认为是表示在这段时间内的平均速率， 记为 可认为 是质点在 时刻的瞬时速率 即瞬时速率 是 时 的极限 一.微商的概念 对于函数 ，若自变量在 点的改变量为 。相对应，函数值的改变量为 ，则当 时，比值 的极限就叫做这个函数在给定 点 的微商，记为 . 求微商的运算叫做微分运算。 叫原函数 是由原函数导出的函数叫导（函）数 二.微分运算 三.常用的初等函数的导数公式 导数可理解为原函数对自变量的变化率 四.微分运算的基本规则 (1)复合函数的微分运算 若有函数 不是基本函数,可定义 中间变量 微分为 复合函数的一般形式 or 例2求函数 的微分 解 令 (2)线性组合函数的微分运算 (3)函数积的微分运算 例6 求函数 的微商 则 为有限个常数 设 式中 若 则 五.微商的几何意义与微分 注意 当 时 无差别 微商 是曲线 在自变量 处的切线斜率 Ch 0.3 积分运算 假设原函数为 其导数为 原函数的微分为 求原函数 不定积分也可简述为已知导函数求原函数。 一. 不定积分是微分的逆运算 原函数记为： 并称 为函数 的不定积分 称为 被积函数 即： 为函数 的不定积分 例如 例1 例2 二.换元积分法 换元积分法是复合函数微分的逆运算 引进一个恰当的中间变量,使积分号里的微分 变换为以中间变量为自变量的基本函数的微分 例3 以 为中间变量 三.线性组合函数的不定积分 例6 解 将分母降次后积分 将分子分母同乘 四.分布积分法 都是 的函数 例7 例8 Ch0.4 定积分的概念 若一质点沿y轴运动，已知瞬时速率为 ， 求从 到 时间内的位移 一. 将 分成为n（很大）个小区间（很小） 在 内，可认为质点做匀速运动，其近似速度为 在 内质点位移近似为 在 内质点位移近似为