【荐】14-2014年南开大学自主招生部分试题赏析【荐】.pdfVIP

14 中 等 数 学 2014年南开大学自主招生部分试题赏析 徐 文 兵 齐 亚 超 (清华大学附属中学 ，100084) 中图分类号：G424．79 文献标识码 ：A 文章编号：1005—6416(2014)08—0014一o3 2014年南开大学数学试点班的选拔试卷由 题3 已知x,y∈(0，1)，且3x+7y、5x+ 均 1O道填空题及7道解答题组成．填空题较基础， 为整数．则这样的(，y)共有 对． 重点考查高考知识，难度略高于高考 ，解答题则 比 分【析】设f：+7y， 较综合，对考生的能力提出了较高要求，涉及数 t3x十y · 论、解析几何、函数、三角、不等式、数列、组合等知 可先根据x,y∈(0，1)得出整数 、的值． 识点．本文对其中部分试题加以赏析． 题 1 无重复数字 (不含 O)且 4与5不相邻 解设f1：+7，，Ⅱ，其中，、移的可能取值为 3x+Y · 的五位数共— — 个． ∈{1，2，…，9}，∈{1，2，…，5}． 解 排除法． 不含0的无重复数字的五位数共A；：15120 一 故 个，其中，4和5相邻且不含0的无重复数字的五 位数共 c37A4A =1680个． lY百 ‘ 所以，无重复数字 (不含0)且4与5不相邻 因为 、Y∈(0，1)，所以， 的五位数共有 15120—1680=13440个． f07v一 “32． 题2 在三棱锥P—ABC中，底面是边长为 I_05u一3v32． 3的正三角形，PA=3，朋 =4，PC=5．则三棱锥 经验证，当t，=1时，=1，2，3，4，5，6； P—ABC的体积 V=一 当 =2时，2／,=2，3，4，5，6，7； 【分析】三棱锥有四个面，每个面均可作为底 当 =3时，“=2，3，4，5，6，7，8； 面，因此方法不唯一． 当 =4时，u=3，4，5，6，7，8； 解 如 图 1。易知 P 当 ：5时，／,／=4，5，6，7，8，9． △PBC为直角三角形，取 综上 ，满足条件的(I,／，)有 3l对，即满足条 斜边PC的中点D． 件的(，Y)有31对． C 因为AP=AB=AC， A 题4 已知 、y、均为正数，且 所 ，点A在平面 PBC xyz= 1 2+y2+ 2≤2． 上的射影为 Rt△PBC的 ， 图 1 外心0，联结AO．则 则 + + 的最大值为— — ． AO上平