（数学论文）分段函数的几个问题-人教版[整理].docVIP

分段函数的几个问题 分段函数在教材中是以例题的形式出现的，并未作深入说明。学生对此认识比较肤浅，本文就分段函数的有关问题整理、归纳如下： 分段函数的含义 所谓“分段函数”，习惯上指在定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数。对它应有以下两点基本认识： 分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数； 分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。 求分段函数的函数值 例1已知函数,求(0)的值。 分析　求分段函数的函数值时，首先应确定自变量在定义域中所在的范围，然后按相应的对应法则求值。是分段函数，要求，需要确定的取值范围，为此又需确定的取值范围，然后根据所在定义域代入相应的解析式，逐步求解。 解 ∵0, ∴, ∵01, ∴==, ∵1, ∴===－, ()，当0时，=(5－)+1.求在R上的表达式。 解　∵是定义域在R上的奇函数， ∴=0. 又当＜0时，－0, 故有=－[5－(－)]+1=－(5+)+1是奇函数, =－=(5+)－1. 求函数=+(2－6)+3(0≤1)的最小值。 解　=[－(3－1)]2－6+6－1 0≤≤1, 当3－10的最小值为f(0)=3, 当0≤3－11时，的最小值为f(3－1)=－6+6－13－11的最小值为f(1)=3－6+3的最小值可表示成关系于的分段函数. 求分段函数的最值 例4　求函数的最小值 方法1　先求每个分段区间上的最值，后比较求值。 当≤0时,==2+3,此时显然有maX= =3; 当0≤1时，==+3,此时max==4 当1时，==－+5无最大值.比较可得当=1时,max=4. 方法2 利用函数的单调性 由函数解析式可知，在∈(∞,0)上是单调递增的，在∈(0,1)上也是递增的，而在∈(1,+∞)上是递减的， 由的连续性可知当=1时有最大值4 方法3　利用图像，数形结合求得 作函数=的图像（图1）， 显然当=1时max=4. 说明：分段函数的最值常用以上三种方法求得. Y 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 x